§. Интегральный признак Коши – Маклорена.

Т. Если для знакоположительного ряда с монотонно убывающими членами, существует интегрируемая по Риману на замкнутых подпромежутках положительной полуоси, невозрастающая неотрицательная функция, совпадающая при целых значениях аргумента со значениями соответствующих членов ряда, то ряд и несобственный интеграл сходятся и расходятся одновременно. При этом разность между остатком ряда после n-го члена и интегралом по не превышает n +1 члена ряда.

Δ Рассмотрим на оси абсцисс точки 1, 2, 3, …, n–1, n, n +1. И построим …..

П

режде всего, отметим что . Здесь – площадь криволинейной трапеции «по недостатку», а – площадь криволинейной трапеции «по избытку».

Пусть такая, что и, кроме того, .

Тогда   

 . Из этого неравенства, ясно что, если ряд сходится, то сходится и интеграл , и наоборот.

(?). Рассмотрим цепочку неравенств:  

 . Перейдем к пределу при . ....... ▲

Пример 1:

, и здесь знак эквивалентности означает, что ряды и интегралы, стоящие по разные стороны этого знака сходятся или расходятся одновременно. Тогда ряд сходится при р >1 и расходится при р 1.

Пример 2: Дзета-функция Римана ζ(z).

Def: ; . Если  ,

а ряд сходится или расходится одновременно с интегралом .

т. е. ряд сходится, если Re z > 1 и расходится при Re z 1.

§. Признак Коши сходимости знакопостоянных рядов.

Не ограничивая общности, можно считать знакопостоянный ряд знакоположительным. Рассмотрим ряд . Последовательность для ряда называется последовательностью Коши.

Признак Коши: Для ряда если , то ряд сходится, а если , то ряд расходится. При q = 1 признак Коши на вопрос о сходимости не отвечает.

Предельная форма признака Коши: Если , то при ряд сходится, при ряд расходится, при ответа на вопрос о сходимости нет.

Δ. Пусть , тогда с некоторого номера  , ряд – сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), следовательно также сходится. Если же , тогда при достаточно больших n

и общий член ряда не стремится к нулю. Ряд расходится. ▲

§. Признак дАламбера и его предельная форма.

Последовательность для ряда называется последовательностью Даламбера.

Признак Даламбера: Если для ряда существует , то при ряд сходится, при ряд расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Предельная форма признака Даламбера: Если для ряда существует , то при ряд сходится, при ряд расходится, а при вопрос о сходимости ряда с помощью признака Даламбера не может быть решен..

Δ     . Последнее неравенство говорит о том, что исходный ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрическойц прогрессией и, следовательно, сходится. Если  , и ряд расходится т. к. не стремится к нулю. ▲

§. Примеры

а). . Признак Даламбера. Ряд расходится.

б). Признак Даламбера. Ряд сходится.

в). Признак Коши.

=  

. Ряд сходится.

г). . Признак Коши. Ряд сходится.

д). Признак Даламбера.

е). . И признак Коши, и признак Даламбера ответа на вопрос о сходимости ряда ответа не дают. Нужны более сильные признаки. Расходимость этого (гармонического) ряда ранее была показана с помощью критерия Коши.