Диференціальне хвильове рівняння

Рівняння хвилі ми одержали шляхом розмірковувань. Насправді ж воно має бути розв’язком загального диференціального ХВИЛЬОВОГО РІВНЯННЯ, так само як рівняння гармонічних коливань

було розв’язком загального диференціального рівняння вільних незгасаючих коливань

Спробуємо, як виняток, «відновити» диференціальне хвильове рівняння за відомим нам розв’язком цього рівняння.

У рівнянні плоскої хвилі

чотири змінні, а саме: х, у, z, t.

Візьмемо другі частинні похідні від зміщення за кожною з цих змінних

Додамо почленно останні три рівняння:

Виразимо s із першого рівняння

Дістаємо:

Зліва маємо оператор Лапласа від зміщення. Тому остаточно:

.

Отже, дістали ХВИЛЬОВЕ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ.

У ньому немає ніяких конкретних характеристик частин­ки, яка коливається, немає ні амплітуди , ні частоти , ні фа­зи Тому рівняння описує не якусь конкретну хвилю, а будь-яку хвилю.

Так само диференціальне рівняння гармонічних коливань опи­сувало цілий клас коливань.

У хвильовому рівнянні міститься лише одна стала — це фазова швидкість , яка не залежить від ха­рактеристик джерела, таких як частота або амплітуда, а повністю визначається властивостями середови­ща, в якому поширюється хвиля.

Фазова швидкість хвилі

Припустимо, що фаза хвилі з часом залишається сталою:

.

Продиференціювавши це рівняння по часу t дістанемо швидкість поширення хвилі

→

Швидкість 𝛖— це швидкість переміщення даного значення фази, і вона збігається зі швидкістю по­ширення хвилі. Тому цю швидкість називають фазовою швидкістю хвилі.

Групова швидкість хвилі

Раніше ми розглядали монохроматичну хвилю, яку легко уявити у вигляді косинусоїди, що біжить із фазовою швидкістю. З таким самим успіхом у пружному середовищі може поширюватися й одиночне збудження будь-якої форми, наприклад, у вигляді прямокутного імпульсу або серії імпульсів.

Відомо, що будь-яка періодична функція може бути розкладена в ряд Фур’є. Тому імпульс довільної форми, який поширюється, може бути замінений системою гармонічних хвиль різних частот.

У такому разі кажуть про ГРУПУ ХВИЛЬ, або ХВИЛЬОВИЙ ПАКЕТ. У хвильовому пакеті можуть бути представлені або хвилі окремих дискретних частот, або спектр частот може бути неперервним. Швидкість поширення хвильового пакета, або групи хвиль, називається ГРУПОВОЮ ШВИДКІСТЮ.

На перший погляд не ясно, навіщо потрібно вводити поняття групової швидкості, адже ж ми раніше встановили, що фазова швидкість хвилі залежить тільки від властивостей середовища і вона має бути однаковою для хвиль будь-яких частот.

На жаль, досліди, які були проведені з хвилями високих частот, показали, що швидкість хвилі може залежати від її частоти або довжини. Залежність фазової швидкості хвилі від частоти називається ДИСПЕРСІЄЮ.

Дисперсія приводить до того, що при віддаленні від джерела хвильовий пакет змінює свою форму, він, так би мовити, «розпливається». Звичайно, групова швидкість, як інтегральна швидкість поширення хвильового пакета, відрізняти­меться від фазової.

Будемо шукати формулу для групової швидкості і формулу, яка зв’язує групову і фазову швидкості на прикладі одночасного поширення тільки двох хвиль із різними, але близькими частотами.

Рівняння першої хвилі:

Рівняння другої хвилі:

Зміщення частинки в даній точці в деякий момент часу, згідно з принципом суперпозиції, дорівнює сумі зміщень обох хвиль:

Формула нагадує формулу додавання двох гармонічних коливань із близькими частотами. Там амплі­туда сумарного коливання сама здійснювала гармонічні коливання, частота яких визначалась як різниця частот початкових коливань. Це була частота биття.

А тут амплітуда хвилі — це теж хвиля, частота якої дорівнює різниці частот , а хвильовий вектор дорівнює різниці хвильових векторів вихідних хвиль

Нагадаємо, що фазова швидкість дорівнює відношенню частоти до хвильового числа

.

Тому швидкість поширення амплітуди сумарної хвилі слід обчислювати, як відношення різниці частот до різниці хвильових векторів

.

Це і є групова швидкість хвилі.

Оскільки

,

то

.

Це і є зв’язок фазової і групової швидкостей.

Якщо фазова швидкість не залежить від частоти , а це означає, що вона не залежить від довжини хвилі λ, то і фазова швидкість дорівнює груповій Дисперсія відсутня.

Якщо то - дисперсія нормальна,

Якщо - дисперсія аномальна,