Новые тенденции

7. НОВЫЕ ТЕНДЕНЦИИ

Вплоть до недавнего времени казалось, что имеющиеся возможности для формирования философского взгляда на математику ограничены и, более того, исчерпаны (по мнению тех, кто считал своим долгом предложить определенное обновление философии математики1). Логицизм, интуиционизм и формализм были получены в наследство от фундаментальных школ начала двадцатого века. Эти философии происходили от программ, сформулированных внутри самой математики, и это было одной из причин их успеха, их принятия со стороны математиков или, по крайней мере, того, что они были знакомы им и, возможно, поняты ими. Они вытеснили прочие традиционные способы философствования о математике, как прошедших веков, так и их времени. Идеи других философов, в особенности французских, таких, как Ф. Гонсет2, находящихся не на первом плане в математическом мире, канули в безвестность и забвение, причем даже с некоторым презрением.

Первая часть столетия стала периодом математизированной эпистемологии. Рассуждения о математике должны были проводиться с помощью инструментов и понятий математики, возможно, аналогично подходу Гильберта как изучение формальной теории, или как хорошо обоснованная радикальная реконструкция, как в интуиционизме Брауэра. При этом и формализм использовал понятия математической теории, а именно – теории формальных

1 R. Hersh, Some proposals for reviving the philosophy of mathematics, in Advances in Mathematics, 31, 1979, pp. 31–50, перепечатано в New Directions in the Philosophy of Mathematics, под ред. T. Tymoczko, Princeton, Princeton Univ. Press, 1998, pp. 9–28. См. также P.J. Davis, R. Hersh, The Mathematical Experience, Basel, Birkäuser, 1981; итал. перевод L’esperienza matematica, Milano, Comunita’, 1986 и более поздняя R. Hersh, What is Mathematics, Really, Oxford, Oxford Univ. Press, 1997; итал. перевод Cosa e’ davvero la matematica, Milano, Baldini&Castoldi, 2001.

2 Cм. Ferdinand Gonseth, Les Mathematiques et la realite, Paris, A. Blanchard, 1936.

81

Философия математики: наследие двадцатого столетия

систем, вдохновлялся аксиоматическим построением теорий и опирался на них.

Этот период завершен, и не последней причиной этого было разочарование, последовавшее за провалом программы Гильберта, на которую очень рассчитывали его современники. Сегодня другие подходы вышли на сцену. Одни имеют (или претендуют на то, что имеют) в качестве точки отсчета актуальное состояние математики. Они тоже, правда, другим, отличным образом, нагружены математикой и пробуют вести с ней разговор. Другие вновь дают место темам, проблемам и подходам к их обсуждению, свойственным философской традиции, которая предшествовала кризису оснований математики, породившему математические программы. Эта традиция всегда рассматривала математику кактему особого интереса и видела ее или как проблему, или как модель. Однако остается взаимная отчужденность исследований. Одни имеют скудные философские достоинства, другие – малый интерес для математиков.

Когда около тридцати лет тому назад3 был начат поход против господства классических направлений логицизма, формализма и интуиционизма, эти школы были объявлены бесплодными и отжившими свой век. Однако было бы преувеличением сказать, что они превратились в забальзамированные мумии. Эти течения модифицировались, хотя, конечно, каждое из них оставалось верным своим собственным оригинальным предположениям. Более того, они продолжали стимулировать новые исследования. Ошибка, которая вменялась им в вину, обусловлена совсем не устарелостью этих направлений, она была изначальной, первопричинной, своего рода «первородным грехом». Речь шла об ошибочном поиске оснований, то есть об ошибочном желании обеспечить твердую и окончательную базу для достоверности и надежности математики. Причина подобной живучести этой ошибки была названа и заключалась, по мнению диагностов, в использовании математической логики (обвинение, между прочим, безосновательное в случае чистого интуиционизма). Действительно, успехи этих школ стали

3 Оригинал настоящей книги на итальянском языке был издан на рубеже ХХ и ХХI веков (прим. научного редактора).

82

Новые тенденции

возможны благодаря рафинированному использованию инструментов математической логики. Их ответы были, следовательно, всем чем угодно, но только не прямыми, были трудно понимаемыми и поэтому были объявлены пустыми4.

Необходимо признать, что их деятельность произвела нечто, что мало похоже на классическую математику, нечто, что не может быть даже спроецировано непосредственно на её проблемы. Математики не признавали эти исследования ни в исходных посылках, ни в используемых методах (формализованные доказательства, например, или новые интуиционистские концепции). Созданные системы оснований математики сделали то, что ожидалось от философской работы, то есть то же, что длины волн делают по отношению к цветам: они привели к исчезновению математики. Результат закономерный, потому что их цель носила не дескриптивный и даже не нормативный (за исключением интуиционизма) характер. Это была особенная работа, подобная одеванию специальных очков, которые позволяли видеть только молекулярную структуру, а не то, что видно обычному глазу. В этом случае «желтый» больше не виден, зато видны другие интересные вещи.

Однако ничто в этом мире не существует обособленно. Системы оснований математики существовали и имели определенные отношения с математикой. Философы рассуждали о них, и в определенных контекстах, иногда также и в преподавании, эти системы заменяли

4 Рассмотрим эти школы, но без углубления в технические детали. Для тех, кто чувствует себя в состоянии разобраться, приведем только некоторые темы, в отношении которых логические исследования по укреплению оснований математики дали существенные результаты во второй половине двадцатого века: анализ концепции предикативности, наилучшим образом пред-

ставленный в E. Nelson, Predicative Arithmetic, Princeton, Princeton Univ. Press, 1986; также концепция «бесконечно малого» в нестандартной математике, которая является красой и гордостью логицизма; затем, логический анализ разнообразных разделов математического анализа; теория больших кардиналов; изучение интуиционистской математики, для чего см., к примеру, Metamathematical Investigations of Intuitionistic Arithmetic and Analysis, под ред. A.S. Troelstra, Berlin, Springer, 1973 и т.д.; и, конечно, необходимо отме-

тить философское обновление логицизма в уже цит. M. Steiner, Mathematical Knowledge.

83

Философия математики: наследие двадцатого столетия

математику илипреподносилиськакнекаясовершеннаяматематикас ложнымииопасныминападкаминаобычнуюматематику.

Вот поэтому-то критики и атаковали школы, разрабатывающие основы математики, ссылаясь на то, что представление математики в формализованном виде давало ошибочный и искаженный образ ее самой, и, следовательно, соответствующие философии также давали ложное объяснение математики. Была выражена потребность в новой философии, которая смогла бы представить математику образом, более соответствующим ее реальности.

Основная позиция, которая выступала с подобной критикой, была названа ее сторонниками эмпиризмом, поскольку они намеревались показать, что процедуры математики не отличаются от процедур так называемых эмпирических наук, более точно, естественных наук.

В действительности, новые направления, претендуя на формирование достоверного представления современной математики, поднимают всю ту же традиционную философскую проблему, проблему о том, что представляет собой по сути математика. Их цель состояла и состоит в том, чтобы определить ее роль внутри комплекса разнообразных видов человеческой деятельности, правильно ее позиционировать и, таким образом, дать для математики определенный вид оправдания, пусть и не обоснование ее достоверности. Эмпиристы имеют также определенную точку зрения на природу этой достоверности. Они утверждают, что если процедуры открытия и подтверждения похожи на аналогичные процедуры естественных наук, то и тип знания также сходен, следовательно, является шатким, неабсолютным, пересматриваемым, поскольку за процедурами нет ничего более фундаментального или более гарантированного.

Новая философия математики, какой бы она ни была, «должна освободить как философов, так и математиков от построения оснований»5. Однако грех фундаментализма разделяют обе эти категории, в том смысле, что «философы имеют склонность думать в терминах оснований», математики же должны поэтому остерегаться философии. С другой стороны, они не должны тогда использо-

5 См. уже цит. T. Tymoczko, New Directions, p. 4.

84

Новые тенденции

вать логику, этого Троянского коня, с помощью которого просачивается любимый философами фундаментализм. Есть сомнение, что это именно тот самый инструмент с завышенными (поскольку они малоизвестны) возможностями, который вызывает желание получить сверхчеловеческую мощь.

Полемическая необъективность в отношении математической логики вновь ставит вопрос о том, каковы могут или должны быть тогда другие инструменты в арсенале эпистемологии кроме (описания) рассуждений и чисто математических техник. Не кажется разумным также, критикуя математизированную эпистемологию, доходить до противоположной крайности и забывать или игнорировать все важные достижения метаматематики. Двадцатое столетие можно назвать веком языка. Значительные достижения демонстрируют логика, философия языка, аналитическая философия, лингвистика, вычислительная техника. История, психология мышления или когнитивные науки в целом тоже внесли свой вклад. Философия как таковая может предложить мудрость, отфильтрованную тысячелетиями дискуссий и анализа, что является весьма значительным вкладом, но она не предлагает никакого конкретного инструмента.

85

Философия математики: наследие двадцатого столетия

86