Введение

ǂ‰ÂÌËÂ

В этой книге рассмотрен широкий спектр философии математики двадцатого века, представленный, прежде всего, теми ее направлениями, которые во второй половине столетия явили собой концепции, актуальные и сегодня. На рубеже веков к таким течениям С. Феферман отнес платонизм, структурализм, натурализм, предикативизм, конструктивизм и формализм1. Наш список богаче, в него вошли и философии, может быть, не столь знаковые, но определенно показательные. Конечно, мы дадим и пояснения сделанного выбора, которые, надеемся, будут убедительны. Необходимо также отметить присутствующий в тексте определенный приоритет, отдаваемый современности, поскольку двадцатое столетие было долгим и богатым на события веком для науки, а для математики – особенно. Некоторые проблемы столетней давности, имевшие, к тому же, корни во второй половине девятнадцатого века, видятся сегодня устаревшими, относящимися к прошлой эпохе, прошлой обстановке, и сложно услышать их «говорящими о себе»2. Определяя основную концепцию книги, подчеркнем, что она во многом обусловлена желанием представить наследие философии математики, которое нам передал двадцатый век.

Речь не идет о введении в философию математики. Введение предоставляет инструменты для продолжения исследования, для продолжения движения читателя путями, намеченными существующими течениями. Главный же замысел книги не в этом. Познакомиться с направлениями философии математики важно для того, чтобы знать, что думали те, кто размышлял о математике и, прежде всего, почему они это делали и когда, и на какие вопросы

1См. S. Feferman, H.M. Friedman, P. Maddy, J.R. Steel, Does mathematics need new axioms? The Bulletin of Symbolic Logic. 2000. V. 6. №4. Р. 401–446.

2В оригинале лат. de te loquitur (прим. переводчика).

35

Философия математики: наследие двадцатого столетия

искали ответы, и в каких ситуациях. Однако в целом можно отметить, что, именно из-за этой их исторической обусловленности, почти все философии математики, за исключением, пожалуй, не- определенно-общих, отжили свой век – для математики не существует вечных философий. Это не означает, что они должны быть отброшены, поскольку во многих из них есть интересные идеи и результаты, имеющие непреходящее значение.

Как типичный пример направления, которое отнесем к не- определенно-общим, без придания этому термину уничижительного оттенка, рассмотрим реализм, хотя похожие рассуждения можно было бы привести и в отношении других течений. Итак, реализм, как одна из философий математики, практически не углубляется в ее специфические особенности, более того, вуалирует и запутывает их, обращаясь с числами как с обычными общими терминами естественного языка. Вероятно, подобным образом достигается выигрыш во всеобщности и философской значимости, однако это направление явно «не встает на крыло» как философия именно математики и «завершает свой полет» полным фиаско: слова, выражающие числа, кардинальным образом отличаются от других слов и употребляются по другой схеме, если верить заключениям последних психолингвистических исследований3.

Этот небольшой пример ставит не только проблему развития философии математики, но и спрашивает о том, какими инструментами она должна исследоваться и по отношению к какой математике. Та, которую читатель встречает в изложении и толковании большинства философов, состоит из нескольких операций над натуральными числами и нескольких теорем плоской Евклидовой геометрии. Возможен также бесстрашный прыжок в самую чащу теории множеств или, что еще реже, в область теоретикомножественных определений более абстрактных математических конструкций. Это не та математика, которую знают сами математики. Это также не та математика, которую изучают дети. Полностью отсутствует захватывающий и неисчерпаемый мир систем

3 См. A. Karmiloff-Smith, Beyond Modularity, Cambridge, Mass., The MIT Press, 1992.

36

Введение

исчисления; отсутствуют теоремы сложные, да, впрочем, и простые тоже, к примеру, теоремы о графах, которые возникают в связи с задачей о гостях на вечеринке, знакомых и незнакомых друг с другом. Теория множеств сводится к языку и аксиомам, о происхождении и функции которых трудно судить без выхода на продвинутый уровень математической теории.

Обычна практика, когда математикой предлагают пренебрежительно считать то, о чем рассказывают курсы логики для философов в американских колледжах. Там, кроме этой дисциплины, студенты могут прослушать историю философии. Известно однако, что философы прошлого использовали чрезвычайно ограниченный набор математических примеров. Представьте только, что философия математики (и не только математики) у И. Канта опиралась на два утверждения: первое было «7+5=12», а второе – раздел I.32 из «Элементов» Евклида4.

Читатель должен быть готов к ситуациям, подобным этой, и делать из них соответствующие выводы. Даже для того, чтобы только начать разговор о философии математики, нужно знать основные этапы ее истории. Примечателен эпизод, связанный со становлением проективной геометрии, который никогда не расценивался философами как важнейшая веха развития математики. Рассуждают обычно о неевклидовых геометриях из-за их значения для физики и логики, но, с точки зрения самой математики, гораздо большее влияние на ее понимание и развитие оказала геометрия проективная, как в синтетической, так и в аналитической версиях. Нужно знать также математику XX века или хотя бы иметь общее представление о ней5. Однако, если для этой цели воспользоваться математикой, негласно используемой многими философскими течениями, то есть риск потратить усилия впустую. Исключение составляют те философские течения, для понимания которых необходимо, наоборот, слишком глубоко знать математику; большинство же других не требуют серьезных знаний ее современного со-

4Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.

5См. P. Odifreddi, La matematica del Novecento, Torino, Einaudi, 2000.

37

Философия математики: наследие двадцатого столетия

стояния, считая философию приоритетной и независимой от количества известных математических результатов и полагая, что суть математики всегда остается неизменной.

Впрочем, проблема подготовки к исследованиям в области философии математики не является предметом этой книги, которая, прежде всего, обращается к самим исследованиям, проводимым и проведенным в этом направлении. Присутствует также и некоторая критика рассматриваемых философских течений.

Книга представляет собой беглый обзор существующих философских течений, обзор, который, однако, достаточно точен и последователен. Выбор рассматриваемых направлений, как всегда, является упрощающим и субъективным. Исключены некоторые оригинальные идеи, которые не получили дальнейшего развития. Не посвящено отдельной главы основаниям теории категорий, которая понемногу сдает свои позиции несмотря на то, что ранее претендовала на радикальный пересмотр концептуальной организации математики. Амбиции теории категорий отчасти обоснованны, если исследования по основаниям математики разрабатываются нетрадиционным образом. Если же их рассматривать только как предложение новой понятийной структуры, то категории порождают те же самые проблемы, что и множества, причем эти последние связаны, в основном, с классической философской проблематикой, в то время как категории закладывают в основания математики специфическую концепцию – понятие функции, которая не принадлежит естественному бытовому языку. Теория категорий, во всяком случае, совместима с различными основными течениями философии математики, как, например, среализмом, так и с формализмом.

Возможно, читатель не поддержит и некоторые другие сделанные исключения. Философия математики представляет собой научную дисциплину, которую продолжают культивировать с

38

Введение

прилежанием, что приносит многочисленные плоды6. Видимо, это происходит потому, что нет окончательных выводов и можно вновь и вновь возвращаться к тем же самым проблемам с новыми идеями и аргументами. Само название этой науки подсказывает, что она интересует и философов, и математиков, которые ведут исследования различными способами, по-своему формулируя и проблемы, и решения. Откровенно говоря, философия математики, которая достаточно непроста и требует широкого кругозора и глубоких знаний во многих отраслях науки, не всегда оценивается по достоинству и теми, и другими, если, конечно, не сводится к простым и незатейливым формулам.

Она, между тем, впитывает идеи представителей обеих сторон. В этой книге слово чаще предоставляется математикам, во-первых, потому, что они более знакомы автору, во-вторых, потому, что они, скорее всего, менее знакомы читателю и, что еще печальнее, часто отодвигались на второй план, даже когда играли главную роль, и в-третьих, потому, что, в целом, высказывают вещи более уместные. Вероятно, и читатели разделятся на тех, кого занимает философская сторона вопроса, и других, кому интереснее математика. Книга адресована, прежде всего, второй группе, для которой, в частности, и задумана начальная часть философского введения. Будем надеяться, что трудная задача угодить всем и «раздать всем сестрам по серьгам» не возымеет обратного эффекта и не разочарует обе группы.

6 Для примера приведем далеко не полный список недавних публика-

ций: S. Shapiro, Thinking about Mathematics, Oxford, Oxford Univ. Press, 2000; M. Steiner, The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem, Cambridge, Mass., Harvard Univ. Press, 1998; J.R. Brown, Philosophy of Mathematics, New York, Routledge, 1999; M. Potter, Reason’s Nearest Kin, Oxford, Oxford Univ. Press, 2000 и другие, цитируемые далее по тексту книги. Кроме того, необходимо отметить журнал «Philosophia Mathematica», основанный в 1964 году и обновленный в 1993, выходящий тремя номерами в год и всегда содержащий интересные предложения и дискуссии. Существует также лист e- mail рассылки fom-digest для дискуссий по основаниям математики; для более подробной информации: http://www.math.psu.edu/simpson/fom/.

39

Введение

уДлнъ иЦкЗДь

оЛОУТУЩЛfl П‡ЪВП‡ЪЛНЛ

41

Философия математики: наследие двадцатого столетия

42

Часть первая. Философия математики

Необходимо предупредить сразу, еще до начала погружения в предмет этой главы, что от изучения философии математики не нужно ожидать ответов на все вопросы, которые математик или инженер, преподаватель или студент1, вероятно, задал бы в связи с той дисциплиной, которую преподает или изучает, в связи со своей работой или просто так. Она не даст ответов не только на все вопросы, но даже на некоторые из них.

Вместо этого возникнут новые вопросы, появятся новые проблемы, которые ранее не встречались и не поднимались. Это происходит потому, что философия, как сложившаяся дисциплина в целом, а также философия математики в частности, представляют собой по сути вещи совершенно отличные от математики и от ее преподавания. Каждая наука развивается вокруг эзотерических проблем, лежащих в ее основе, подчиняясь своей внутренней логике.

Другая причина, несомненно, связанная с первой, состоит в том, что постоянно существует разрыв между многими большими проблемами, которые обсуждались в рамках философии математики, и состоянием самой математики и ее актуальных проблем. Философские вопросы практически остаются теми же на протяжении тысячелетий, в то время как математика меняется, а в некоторые периоды, в особенности за последние два века, очень быстро и бурно. Философы постоянно пытаются адаптировать свои вопросы

куклончивой и постоянно меняющейся реальности. При этом в

1Начиная с этого момента и далее по тексту книги под «математиками» будем подразумевать разнообразных пользователей данной науки, понимая этот термин в том широком смысле, который включает в себя всевозможные специфические вариации. Из контекста всегда будет ясно, когда речь пойдет о творческом исследователе математики, а когда просто о математике, знающем и использующем те или иные математические методы.

43

Философия математики: наследие двадцатого столетия

лучшем случае они отстают от математики на целое поколение (что, впрочем, справедливо и для большинства математиков, и для пользователей данной науки). Однако вопросы, которые ставят философы, остаются всегда теми же самыми, за исключением случаев, когда математика сама насильно ставит новые2. Философия идет вперед, повернувшись лицом в прошлое и имея будущее за спиной, как ангел Вальтера Беньямина3. В более прозаических терминах можно сказать, что она как портной, снимающий мерки у клиента, который продолжает расти от примерки до примерки.

Философия математики, тем не менее, существует как дисциплина, издаются книги и читаются курсы под этим названием, в том числе и в соответствии с учебными планами высших учебных заведений. Одну из важных утилитарных причин, по которой было бы неплохо изучить эту науку, можно пояснить следующим образом. Дело в том, что разговоры и дискуссии по философии математики представляют собой один из главных каналов, посредством которого ваше окружение, коллеги-специалисты других отраслей, популяризаторы науки, журналисты, редакторы и издатели доходят до понимания (может быть, кажущегося) чего-то в математике. Чтобы быть в состоянии квалифицированно вести с ними дискуссию и корректировать, по возможности, их мнения и суждения, необходимо быть осведомленными о том, что знают собеседники, владеть их аргументацией и «уметь вести игру на их половине поля», не уходя в глухую оборону и изоляцию, заявляя, что математика представляет собойнето, о чемговорят оппоненты, асовершенно другую вещь.

Термин «философия», кроме того, наделяет обычные знания авторитетной лицензией, придавая им значение и вес. Математик иногда остается под впечатлением, что некоторые непрофессионалы знают о его предмете больше, понимают его глубже, разбираясь в основах основ математики, чем он сам, что, нередко, приводит к развитию чувства собственной неполноценности.

2В дальнейшем мы предполагаем привести примеры, подтверждающие это резкое суждение (и другие аналогичные). Конечно же, читатель, которого мы не сможем убедить, имеет полное право сформировать свое собственное мнение по каждому спорному утверждению.

3W. Benjamin, Angelus Novus, Torino, Einaudi, 1962, p.76.

44

Часть первая. Философия математики

Необходимо отметить также, что философия математики имеет, по меньшей мере, две сущности. С одной стороны, это философия в чистом виде, и она не имеет ничего общего с математикой. С этой точки зрения, для любого математика совершенно позволительно и, даже, вполне допустимо не понимать эту науку или совсем ее проигнорировать. Однако, с другой стороны, она несомненно связана с развитием математики как через обмен идеями и мыслями, высказанными и воспринятыми математиками, так и посредством влияния, которое она оказывает как общекультурный фактор, в том числе и вышеупомянутыми путями, на цели и задачи этой научной дисциплины, ее позиционирование в системе обучения и преподавания, ее оценку в обществе со всеми вытекающими из этого последствиями. Таким образом, изучая философию математики, специалист всегда сможет лучше понять свою собственную науку, повысить ее роль и значение, а также поднять значимость своей собственной работы.

Все это также представляет собой одну из причин, по которой был сделан выбор в пользу рассмотрения современных теорий вместо классического анализа, посвященного учениям Древней Греции, Древней Индии и так далее, как это обычно делается. Самое большее, в настоящей работе прослеживаются истоки некоторых философских течений в девятнадцатом столетии, без углубления в более ранние исторические периоды.

Возможно, многие читатели-математики мало знакомы с предметом и методами философии, поэтому вначале затрагивается именно эта тема, которая, надо заметить, весьма не проста для точных формулировок. Но все еще гораздо сложнее, к сожалению, с математикой для читателей-философов. Для них ее можно только цитировать или приводить ссылки на оригинальные работы. Первая часть книги целиком посвящена философии и может быть пропущена теми читателями, которым она либо не нравится, либо покажется слишком трудной, как это часто бывает с математиками. Все рассматриваемые в ней темы вновь, но уже более конкретно, будут обсуждаться во второй части книги, в которой проводится обзор и анализ различных течений философии математики. Первая часть также может быть прочитана во вторую очередь теми

45

Философия математики: наследие двадцатого столетия

читателями, которые уже освоили философскую терминологию и хотели бы вначале изучить всю панораму направлений философии математики и только потом сравнить собственные впечатления, полученные (на что хотелось бы надеяться) при глубоком изучении приведенных первоисточников, с авторскими в рамках обсуждения целей и задач философии.

46