Априори

5. АПРИОРИ

Классическая точка зрения на математику, которая для многих представляет собой фундаментальную мотивацию философского исследования, состоит в том, что она представляет собой знание, имеющее характер необходимости и неизбежности. Такой характер математики, видимо, «не от мира сего», порождает определенную проблему согласования его с безусловным и признанным аспектом ее применимости к самому этому миру, которому она не принадлежит. Отмечается в этой связи удивительный успех ее приложений или ее непостижимая эффективность1. Оба взгляда восходят к Платону, который рассуждал как о божественной натуре математики (кто ей не владеет, не может быть богом или героем, способным служить человечеству2), так и о ее универсальном присутствии во всех искусствах ивовсехвидах интеллектуальнойдеятельности3.

Различие между необходимостью и случайностью имеет метафизическую природу (кто-то говорит – логическую, в античном значении логики, название которой происходит от «логос» – «мышле- ние-которое-проявляет-бытие»). С эпистемологической точки зрения философия разработала параллельную пару: a-priori и a-posteriori. Определение этих дополняющих друг друга терминов и их связь с аналогичной метафизической парой есть само по себе бесконечная глава философии4. Одно из исходных определений состоит в том, что некоторое утверждение есть a-priori, если оно может быть познано без обращения к опыту. Такая возможность не должна, однако, пониматься в субъективном смысле и уж совсем не в том смысле, что знание может быть получено без единого опыта. И. Кант отмечал, что все познание начинается с опыта, но из этого не следует, что все знание происходит из опыта5. Кроме того,

1См. E. Wigner, The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, in Communications on Pure and Applied Mathematics, 13, 1960, pp. 1–14.

2Законы, 818.

3Республика, 523.

4См. недавний сборник New Essays on the A-priori, под ред. C. Peacocke

иP. Boghossian, Oxford, Oxford Univ. Press, 2000.

5Критика чистого разума, В1.

75

Философия математики: наследие двадцатого столетия

нельзя ссылаться на то, что возможно знать, чтобы не попасть уже в метафизическую дискуссию по поводу различия между возможностью и необходимостью. Определенный консенсус, кажется, существует по поводу уместности ссылок на то, что представляет собой последний аргумент, на который опирается обоснование истинности какого-то высказывания. Некоторое утверждение есть тогда a-posteriori, если его истинность или ложность зависит от опыта. В противном случае оно есть a-priori.

В философской традиции существует разделяемое большинством философов мнение о том, что математические высказывания полагаются a-priori, потому что они несут в себе некоторую необходимость, которая не может быть произведенной из опыта6, а может быть, потому, что обоснование математических высказываний представляет собой скорее доказательство, чем наблюдение.

Философы должны быть и в самом деле благодарны математике, поскольку без нее многие из них остались бы без работы или даже не начали бы заниматься философией. Где найдется еще случай столь же значимый для познания, для которого имелся бы смысл обсуждать истины априорные, не подлежащие пересмотру, абсолютные? Может быть, в логике, но логика растворяется в пустой аналитичности. Математика же считается (и всегда считалась) истинным знанием.

Соприкосновение с реальностью может иметь место в математике как в обосновании аксиом, так и при проверке некоторых следствий, но это соотнесение, кажется, не носит основополагающего характера. Оно служит, в крайнем случае, индикатором адекватности или уместности некоторых исследований. Общепринятый взгляд на математику исключает то, что она должна быть верной на основе опыта или могла бы быть им фальсифицируема. Самое большее, опыт подсказывает новый тип математики. Это как раз один из поводов для изумления, которое сопровождает ее успехи. Если предполагается априорный характер математики, то предсказуемо возникает вопрос об ее идеальной гармонии с миром случайного. Если утверждается, что она происходит «от мира сего», то требуется объяснить присущий ей характер необходимости или независимости от опыта.

6 Критика чистого разума, В14–15.

76

Редукционизм

6. РЕДУКЦИОНИЗМ

Фундаментальные метафизические вопросы, вечные вопросы философии имеют вид «Что такое …?», например, что такое жизнь? Что такое числа? Подобные вопросы можно сопоставить с аналогичными, которые задавали себе первобытные люди. Что такое Солнце? Что такое гром? Вопросы поверхностные, может быть, чрезвычайно наивные, не совсем ясные, основанные на страхе, типичные для мужчин и женщин, затерянных где-то без ресурсов и знаний. Им нужны были прямые ответы, поскольку они не имели никаких познаний, с которыми устанавливались бы отношения. Ответы должны были быть выражены на языке их каждодневного опыта, но этот язык говорил только о вещах, находящихся в обиходе. Кто-то из них мог отметить даже сходство между молнией и искрами от соударения камней, но есть ли камни на небе? Не удивительно, что первые ответы вводили бога-творца1 и духов, и огромное количество других подобных существ, хотя и похожих на тех, кто во плоти, но все-таки отделенных от них. Так, например, гром – это Юпитер, который ворчит.

Даже предположив резонность или естественность этих вопросов, мы с трудом дошли до признания, что они не допускают прямого ответа или, во всяком случае, ответа, сформулированного на обыденном языке. Можем отметить еще, что функция подобных вопросов заключается в том, чтобы приводить к другим вопросам. Было высказано мнение, к примеру, что вопрос Канта «как возможна математика?» интересен тем, что он, возможно, проливает свет на другую взаимосвязанную проблему, в действительности гораздо более важную, а именно, «почему (для многих) математика так трудна (невозможна)?».

Выражаясь научным языком, эти пояснения вводят проблему редукционизма, по крайней мере, в отношении наивного знания

1 В оригинале использовано словосочетание un dio fabbro, что является игрой слов – бог-кузнец (творец) (прим. переводчика).

77

Философия математики: наследие двадцатого столетия

или здравого смысла. Термин «редукционизм» вообще используется для отношения между теориями или научными дисциплинами, к примеру, когда химические явления объясняют с помощью физических законов. Используется он также и по отношению к ненаучным или донаучным идеям и верованиям. Типичный пример редукционистской диатрибы – дискуссия о том, может ли существовать, и каким образом, психология здравого смысла при наличии когнитивной науки с ее вычислительными и нейрофизиологическими моделями2.

Если мы даем объяснение желтого цвета в терминах длин волн, то можем ли сказать, что желтый цвет существует, что это одна из вещей, о которой мы имеем знания, или же должны сказать, что он исчез из поля зрения онтологии из-за редукции и объясняется вне ее? Онтология модифицируется при прогрессе наук? Любая научная теория отвечает на вопрос «что такое …» или же лишает его смысла? Мнения расходятся по этой проблеме, которая, однако, является центральной в отношении признания легитимного пространства для онтологических рассуждений и для философии математики в особенности.

Позиции по этому вопросу весьма противоречивы и непоследовательны даже по отношению к самим себе. К примеру, Н. Гудмэн дополняет цитату, приведенную на стр. 70, следующим заключением:

Отсюда следует, что серьезная философия математики должна удовлетворять принципу объективности. Иначе говоря, не должна отрицать объективную действительность ни в одном аспекте математической деятельности, который имел бы дело с реальностью на практике.

Н. Гудмэн утверждает, что теория о природе материальных объектов – модель, с которой философии математики необходимо идти в ногу, – должна признавать в качестве своих данных все атрибуты, которые имеют признанное значение в наших обычных разговорах о таких объектах. Он рассматривает именно случай

2 См. S.P. Stich, From Folk Psychology to Cognitive Science, Cambridge, Mass., The MIT Press, 1983; итал. перевод Dalla psicologia del senso comune alla scienza cognitiva, Bologna, Il Mulino, 1994.

78

Редукционизм

«желтого цвета» и заключает, что объяснение в терминах длин волн не устраняет цвета, а имеет эффект придания объективного содержания нашим привычным разговорам о цветах.

Однако, рассматривая случай математики, Н. Гудмэн, как мы увидим в дальнейшем, забывает о своем примере. Он утверждает, что основные течения философии математики не соблюдают его принцип, и полемизирует против критики реализма со стороны логицизма. Для логицизма теоремы являются истинами, содержание которых не зависит от деятельности тех, кто их доказывает. Это устраивает Н. Гудмэна, поскольку, по его мнению, таково впечатление, которое математики получают в своей работе, таков опыт, который они имеют, по их заявлениям. Но для логицизма числа не существуют как реальные объекты, к которым применяются свойства, выраженные теоремами. Не существует области сущностей, к которым эти теоремы относятся. Теоремы истинны в силу их внутренней структуры. При расширении определений обнаруживается только логика. Такой поворот не устраивает Н. Гудмэна, поскольку математики говорят об объектах. Здесь можно было бы увидеть случай редукции, подобный ситуации с желтым цветом. Редукция дает объективное содержание математике – именно так и думал Г. Фреге – один из творцов логицизма. Для Н. Гудмэна же неприемлемо, что в философии не говорится более об объектах, как о них говорят математики.

Стоит отметить, что редукционизм логицизма представляет собой только одну из возможных точек зрения на отношения между логикой и математикой. Тема этих отношений будет одной из основных в последующем обзоре. Зависимость или независимость, идентичность или взаимная чуждость, приоритет одной над другой могут дать ключ для верификации значения, которое придано автономности математики в ряду интеллектуальных деятельностей человека. Эта тема пересекается с темой происхождения. Математика, сведенная к логике, утрачивает свое историческое происхождение и приобретает универсальное значение, которого математика, связанная с другими деятельностями или компетенциями человека, может и не иметь.

79

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Что же касается принципа объективности, то, кажется, по мнению Н. Гудмэна, ни одна философия ему не соответствует, если только не признать буквальным образом все сущности и состояния (включая существование), о которых математики говорят, ссылаясь на свой опыт работы. В этом случае «желтый» (вообще, его эквивалент) не должен быть заменен «длиной волны» (ее эквивалентом), т.е. редукция неприемлема.

В подобной «оптике», видимо, язык философии должен быть исключительно обычным языком, языком практики, не подвергнутой анализу. Трудно сказать, какую философию можно создать таким образом, за исключением, пожалуй, варианта сведения ее к описанию того, что люди делают или, лучше сказать, говорят о том, что делают. Единственным благоразумным решением в этом случае для философии будет собственная редукция (explaining away), однако же философия имеет свой профессиональный лексикон и хочет, чтобы он отличался как от обычного, так и от научного.

С другой стороны, принцип объективности, несмотря на его полезность для сравнения различных философских позиций, представляется по существу сомнительным. Требовать, чтобы философия изначально признавала значение определенных элементов, значит уже сделать выбор в отношении исключительной важности таких элементов, как, например, Н. Гудмэн поступает в случае с так называемой обыденной практикой и другими аспектами, выделенными им.

Философские позиции, похожие на подход Н. Гудмэна, составляют панораму новых предложений и течений философии математики, которые сформировались начиная с 1970-х годов3.

3 Год публикации статьи Н. Гудмэна совпадает с годом публикации статьи Херша (R. Hersh), которая обсуждается далее.

80