Упражнения.

1. Докажите, что отображение , определяемое формулой

непрерывно, т. е. является путем. Путь называется произведением путей и .

2. Какие из следующих пространств линейно связны:

а) дискретное пространство;

б) антидискретное пространство;

в) стрелка.

3. Докажите, что подмножество топологического пространства линейно связно тогда и только тогда, когда любые две его точки можно соединить в путем, целиком лежащим в .

4. Докажите, что всякое выпуклое подмножество евклидова пространства линейно связно.

5. Докажите, что множество плоских выпуклых многоугольников в метрике Хаусдорфа линейно связно.

6. Докажите, что если множества и оба замкнуты или оба открыты и их объединение и пересечение линейно связны, то и тоже линейно связны.

7. Покажите, что внутренность и граница линейно связного множества не обязательно линейно связны и что подобным же свойством обладает связность.

8. Пусть - подмножество евклидова пространства. Докажите, что если граница

множества связна, то замыкание множества тоже связно.

9. Докажите, что то же верно для подмножеств произвольного линейно связного пространства.

10. Две точки принадлежат одной компоненте линейной связности тогда и только тогда, когда их можно соединить путем.

11. Изобразите множество из теоремы 58.

12. Докажите, что из теоремы 58 линейно связно, а связно.

13. Приведите пример линейно связного множества, замыкание которого не является

линейно связным.

14. Приведите пример незамкнутой компоненты линейной связности.

15. Пусть - локально – линейно - связное метрическое пространство. Доказать, что если - связно, то - линейно - связно.

16. Cвязно ли множество в , в стрелке ?

17. Покажите, что множество несвязно в .

18. Докажите, что всякое не выпуклое подмножество прямой несвязно.

19. Пусть - подмножество топологического пространства . Докажите, что - несвязно тогда и только тогда, когда существуют непустые множества и такие, что , , .

20. Укажите такое топологическое пространство и в нем такое несвязное подмножество , что для любых непересекающихся открытых множеств и , образующих покрытие множества либо , либо .

21. Докажите, что для любого несвязного множества в существуют непересекающиеся открытые множества и такие, что , , .

22. Пусть множества и связны и . Докажите, что - связное множество.

23. Пусть - связное подмножество связного пространства и - открытое и замкнутое множество в топологии подпространства пространства . Докажите, что множество связно.

24. Следует ли из связности множеств и связность множеств и .

25. Докажите, что если множества и оба замкнуты или оба открыты и их объединение и пересечение связны, то и тоже связны.

26. Докажите, что пространство связно.

27. Докажите, что любое выпуклое подмножество пространства связно.

28. Связно ли подмножество плоскости, являющееся объединением спирали , (здесь , -полярные координаты) и окружности ? Изменится ли

ответ, если заменить окружность ее частью?

29. Связно ли подмножество плоскости, составленное из точек, обе координаты которых рациональны, и точек, обе координаты которых иррациональны?

30. Укажите такое пространство и такие его две точки, лежащие в разных компонентах, что любое одновременно открытое и замкнутое множество либо содержит обе точки, либо не содержит ни одной из них.

31. Приведите пример отображения , разрывного в каждой точке и в то же время такого, что образ связного множества связен.

32. Доказать, что группа , рассматриваемая как подмножество в пространстве всех комплексных матриц размера , - открытое и связное подмножество.

33. Доказать, что группа , состоящая из вещественных матриц размера с

положительным определителем, - связное топологическое пространство.

34. Доказать, что группа , вещественных невырожденных матриц размера - топологическое пространство, состоящее из двух связных компонент.

35. Пусть и - связны и . Доказать, что - связно.

36. Доказать, что если и , то и связно.

37. Пусть - непрерывное отображение “на” и связно. Доказать, что - связно.

38. Доказать:

а) промежутки , и связны;

б) если связно, то имеет вид: , , , , где могут

принимать значения .

39. Доказать, что куб и сфера - связны.

40. Пусть , . Доказать, что если и - связные пространства, то - связное пространство.

41. Пусть - компактное, - метрическое пространства, - непрерывное

отображение. Доказать, что - равномерно - непрерывное отображение.

42. Построить пример топологического пространства , такого, что его некоторое

подмножество (указать ) замкнуто, ограниченно компактным.

43. Пусть и - компактное пространство. Доказать, что - компактное пространство тогда и только тогда, когда - замкнутое подпространство.

44. Пусть отображение является непрерывным отображением “на” и пусть - компактно. Доказать, что - компактно.

45. Доказать, что - мерная сфера () компактна. Верно ли это для ?

46. Пусть - метрическое компактное связное пространство. Можно ли две его точки

соединить непрерывным путем?

47. Доказать, что куб - компактное пространство.

48. Показать, что группа ортогональных матриц размера – компактное топологическое пространство.

49. Доказать, что группа ортогональных преобразований - мерного евклидова пространства - компактное топологическое пространство.

50. Доказать, что для любого компакта существует гладкая вещественнозначная функция , такая, что .

51. Пусть - топологические структуры в множестве . Следует ли из компактности пространства компактность пространства ? А наоборот?

52. Докажите, что прямая некомпактна.

53. Докажите, что пространство некомпактно тогда и только тогда, когда существует его открытое покрытие, не имеющее ни одного конечного подпокрытия.

54. Наследственна ли компактность?

55. Докажите, что любое компактное хаусдорфово пространство нормально.

56. Докажите, что пересечение любого семейства компактных подмножеств хаусдорфова пространства компактно.

57. Докажите, что если в компактном метрическом пространстве замыкание любого

открытого шара есть замкнутый шар с тем же центром и того же радиуса, то в этом

пространстве шар связен.

58. Докажите, что локальная компактность действительно является локальным свойством, т.е. что пространство локально компактно тогда и только тогда, когда

каждая его точка обладает локально компактной окрестностью.

59. Наследственна ли локальная компактность?

60. Докажите, что замкнутые подмножества локально компактного пространства локально компактны.

61. Докажите, что открытые подмножества локально компактного пространства локально компактны.

62. Какие из следующих пространств локально компактны:

а) ;

б) ;

в) ;

г) дискретное пространство?

63. Приведите пример двух локально компактных подмножеств прямой, объединение которых не является локально компактным.