14

Задание 4. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Основные понятия и определения.

Отображением множества Х в множество Y называется тройка, составленная из множеств X,Y и правила, ставящего в соответствие каждому элементу множества Х в точности один элемент множества Y. Обозначают .

Если , то отображение называют функцией.

Тождественным отображением множества Х называется отображение , определяемое формулой .

Композицией отображений и , называется отображение , определяемое формулой .

Пусть отображение множества на множество . Подмножество называется насыщенным множеством при отображении , если .

Пусть и - топологические пространства с топологиями и . Отображение называется открытым, если оно каждое открытое множество переводит в открытое.

Пусть и - топологические пространства с топологиями и . Отображение называется замкнутым, если оно каждое замкнутое множество переводит в замкнутое.

Пусть и - топологические пространства с топологиями и . Отображение называется непрерывным в точке , если для любой окрестности точки найдётся окрестность точки , такая, что .

Отображение называют непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке пространства любого открытого подмножества пространства Y является открытым подмножеством пространства Х.

Замечание. Отображение не является непрерывным в точке тогда и только тогда, когда найдётся окрестность точки , такая, что для любой окрестности точки справедливо .

Непрерывное отображение называется гомеоморфизмом, если оно биективно и, кроме того, обратное отображение также непрерывно. В этом случае пространства и называют гомеоморфными. Обозначают .

Отображение топологического пространства на топологическое пространство называется факторным, если в открыты те и только те множества, полный прообраз которых открыт в .

Взаимно однозначное отображение метрического пространства на метрическое пространство называется изометрией, или изометрическим отображением, если для любой пары точек выполняется условие .

Если существует изометрическое отображение пространства на метрическое пространство , то говорят, что эти пространства изометричны.

Замечание. Обратное к изометрическому отображению «на» так же является изометрическим отображением.

Непрерывное отображение называется псевдооткрытым, если для всякой точки и любой окрестности множества в выполняется включение .

Замечание. Одной из классических проблем топологии является проблема гомеоморфизма топологических пространств, т. е. определения, являются ли данные пространства гомеоморфными или нет. В каждом конкретном случае характер решения зависит от ответа. Для доказательства гомеоморфности достаточно построить гомеоморфизм между пространствами, что в той или иной форме обычно и делается. Для доказательства негомеоморфности недостаточно рассмотреть какое-либо определенное отображение, а непосредственно обозреть все отображения обычно невозможно. Поэтому при доказательстве негомеоморфности чаще всего пользуются косвенными средствами. А именно находят какое-нибудь свойство или характеристику, которыми обладает одно пространство, но не обладает другое, и которые передаются от пространства к пространству при гомеоморфизме. Тривиальными примерами таких топологических свойств и инвариантов являются мощность множества точек и мощность тпологической структуры.

Множество подмножеств множества называется его покрытием, если есть объединение множеств из Г, т. е. . В этом случае говорят так же, что множества, входящие в , покрывают.

Покрытиепространстваназывается фундаментальным, если для того, чтобы множество было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его пересечение с каждым множеством было открыто в .

Покрытие топологического пространства называется открытым, если оно состоит из открытых множеств, и замкнутым - если из замкнутых.