15

ЗАДАНИЕ 2.

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.

Основные понятия и определения.

1. Топологическая структура (топология).

Топологической структурой (или топологией) в множестве называется такая совокупность  его подмножеств, что:

1. объединение любого семейства множеств, принадлежащих , также принадлежит ;

2. пересечение любого конечного семейства множеств, принадлежащих , также принадлежит ;

3.  и принадлежат .

Множество с выделенной топологической структурой  (т.е. пара ) называется топологическим пространством. Условия 1) - 3) называются аксиомами топологической структуры.

Если - топологическое пространство, то элементы множества называются точками, а элементы множества  - открытыми множествами.

Говорят, что множество замкнуто в пространстве , если его дополнение в открыто (т.е. если ).

Окрестностью точки топологического пространства называют любое открытое множество, содержащее эту точку.

Если ₁ и ₂ -топологические структуры в множестве и ₁  ₂ , то говорят, что структура ₂ тоньше, чем ₁, а ₁ – грубее, чем ₂. При этом записывают ₁  _2.

Пусть - топологическое пространство, . Обозначим через совокупность множеств вида , где . Совокупность называется относительной топологией или топологией, индуцированной в топологией , а её элементы - множествами, открытыми в .

Пусть - топологическое пространство, . Обозначим через совокупность множеств вида , где . Тогда есть топологическая структура в .

Пара называется подпространством пространства , совокупность называется относительной топологией или топологией, индуцированной в топологией , а ее элементы называются множествами, открытыми в .

Примеры:

1.1 Дискретное пространство - множество, в котором топологией является множество всех его подмножеств .

1.2 Aнтидискретное пространство - противоположный пример, в котором топологическая структура состоит из и .

1.3 Пусть есть луч [0; +), а  состоит из , и всевозможных лучей , где . Такое топологическое пространство называется стрелкой.

1.4 Пусть - множество всех вещественных чисел,  - совокупность объединений всевозможных семейств интервалов (интервалом назовем множество вида , где). Такая совокупность является топологической структурой. Она порождает естественную топологию на . Эту топологическую структуру имеют в виду всегда, когда о множестве говорят как о топологическом пространстве, не описывая явно топологию. Это пространство называется обычно вещественной прямой.

5. Рассмотрим множество, состоящее из двух различных точек: . На нем можно задать четыре топологии: , , , и .

1.6 Рассмотрим топологию . Такая топология называется топологией Зарисского.

7. Пусть - множество всех действительных чисел. Рассмотрим совокупность , состоящую из , , полуинтервалов вида (), где и их всевозможных объединений. Множество образует топологию, которую называют правой (левой) топологией Зоргенфрея.

8. Открытые (замкнутые) множества открытого (замкнутого) подпространства открыты (замкнуты) во всем пространстве.

1.9 Стандартная топология с (топология, индуцированная в ) как в подмножестве

плоскости, совпадают.

2.0 Единственным открытым множеством прямой , (открытым и в ) является .

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ.

Теорема 10. ( Свойства замкнутых множеств):

1) пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто,

2) объединение любого конечного набора замкнутых множеств замкнуто,

3. пустое множество и все пространство (т.е. все множество – носитель топологической структуры) замкнуты.

Теорема 11. Множество замкнуто в подпространстве тогда и только тогда, когда оно индуцируется в нём множеством, замкнутым во всём пространстве.

Следствие 1. Пусть . Тогда:

1. если открыто в , то открыто и в ;

2. если замкнуто в , то замкнуто и в ;

3. если открыто в , а открыто в , то открыто и в ;

4. Если замкнуто в , а замкнуто в , то замкнуто в .

Лемма 1. Бинарное отношение  на множестве всех топологий пространства есть отношение частичного порядка.

Теорема 12. Пусть - некоторое семейство топологий множества . Тогда является топологией множества и для любой топологии множества .

Следствие. Пусть - система подмножеств множества . Тогда существует наименьшая топология в содержащая систему .

2. База топологии.

Базой топологии называется такая совокупность открытых множеств, что всякое непустое открытое множество представимо в виде объединения множеств этой совокупности. Элементы базы называют элементарными открытыми множествами.

Топология может иметь несколько или даже бесконечное число баз.

Наименьшая из мощностей всех возможных баз топологии на называется весом пространства .

Базы, задающие одну и ту же топологическую структуру, называются эквивалентными.

Произвольное семейство некоторых окрестностей точки называется локальной базой в точке , если для любой окрестности этой точки найдётся окрестность , что .

Объединение некоторых локальных баз всех точек пространства называется базой окрестностей или фундаментальной системой окрестностей (ФСО) топологии .

Для задания топологии достаточно указать некоторую ФСО . В этом случае о топологии говорят, что она порождена ФСО .

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ.

Теорема 13. Совокупность открытых множеств является базой топологии тогда и только тогда, если для всякого открытого множества X и всякой точки существует такое множество , что .

Теорема 14. Совокупность подмножеств множества является базой некоторой топологии в тогда и только тогда, когда есть

объединение множеств из и пересечение любых двух множеств из ,

представляется в виде объединения множеств из .

Теорема 15. Пусть - произвольное множество. Каждой точке поставим в соответствие некоторое семейство подмножеств множества . Семейство является ФСО для некоторой топологии тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия (аксиомы ФСО):

1) для любой точки существует такое непустое подсемейство , что для любого справедливо ;

2) для любых и найдётся такое, что ;

3. для любых , и найдётся такое, что .

Теорема 16. Пусть и на множестве порождены некоторыми ФСО и

соответственно. Соотношение ₁  ₂ имеет место тогда и только тогда, когда для любых и найдётся окрестность такая, что .

Следствие. Две ФСО и на множестве порождают одну и ту же топологию , когда для любой точки и её окрестностей и найдутся и , такие, что ,

Теорема 17. Любая ФСО в пространстве является базой некоторой топологии . Обратно, любая база топологии является ФСО в пространстве .

Теорема 18. Пусть - топологическое пространство,  - некоторая топология в , - база топологии , . Тогда - база, индуцированная топологией .