Упражнения.
1. Пусть Х состоит из четырех элементов:
.
Какие из следующих
трех наборов (а) - (в) его подмножеств являются топологическими структурами в Х (т.е. удовлетворяют аксиомам 1) - 3)):
а)
б)
в)
2. Пусть
есть луч
,
а
состоит из ,
и всевозможных лучей
,
где
.
Докажите, что
- топологическая структура.
3. Пусть
есть плоскость. Является ли топологической
структурой набор множеств, состоящий
из ,
и открытых кругов с центром в начале
координат и всевозможными радиусами.
4. Убедитесь в том, что вещественная прямая удовлетворяет аксиомам топологической структуры.
5. Пусть
есть
,
а
состоит из:
а) пустого множества и всевозможных бесконечных множеств,
б) пустого множества и дополнений всевозможных конечных множеств.
Является
ли в этом случаях набор
топологической структурой?
6. Приведите примеры множеств:
а) являющихся одновременно открытыми и замкнутыми (разумеется в одном
и том же пространстве);
б) не являющихся ни открытыми, ни замкнутыми.
7. Дайте прямое описание замкнутых множеств: а) в дискретном пространстве;
б) в антидискретном пространстве;
в) в стрелке;
8. Докажите,
что отрезки
замкнуты в
.
9. Докажите, что
полуоткрытый промежуток
не открыт и не замкнут в
,
но представим и как объединение замкнутых
множеств и как пересечение открытых.
10. Докажите, что любое открытое множество вещественной прямой есть объединение отрезков.
11. Докажите, что если совокупность
подмножеств множества
удовлетворяет
условиям:
а) пересечение любого набора множеств,
принадлежавших
,
принадлежит
;
б)
объединение любого конечного набора
множеств, принадлежавших
,
принадлежит
;
в)
,
то
есть совокупность всех замкнутых
множеств некоторого топологического
пространства (какого?).
12. Дайте прямое описание окрестности точек: а) в дискретном пространстве;
б) в антидискретном пространстве;
в) в стрелке.
13. Пусть
,
где
,
- топологические пространства. Пусть
множество из
открыто,
если оно является произведением открытых
множеств из
и
или
объединением
таких множеств в любом числе. Доказать,
что такая система удовлетворяет всем
аксиомам, определяющим топологию на
множестве
.
14. Пространство
из задачи 4) называется прямой с
- топологией.
Покажите,
что
– топология грубее обычной топологии
вещественной прямой.
15. Найдите какие-нибудь базы топологических структур:
а) дискретного пространства;
б) антидискретного пространства;
в) стрелки.
Постарайтесь выбрать базы поменьше.
16. Докажите, что любую базу топологии
пространства
можно уменьшить.
17. Докажите,
что всевозможные бесконечные арифметические
прогрессии, состоящие из натуральных
чисел, образуют базу некоторой топологии
в
.
18. С помощью топологии из задания 17 докажите, что множество простых чисел
бесконечно.
19. Опишите топологические структуры, которые индуцируются:
а) в множестве натуральных чисел
топологией прямой;
б) в
топологией стрелки;
в) в двухточечном множестве {1,2} топологией стрелки.
20. Как по базе топологии в
построить базу индуцированной в
с
топологии?
21. Докажите,
что множество
открыто в
тогда и только тогда, когда каждая его
точка обладает в
такой окрестностью
,
что
открыто в
.
22. Открыт ли полуоткрытый промежуток
в отрезке
,
рассматриваемом как
пространство прямой
?
23. Докажите,
что единственным открытым множеством
прямой
,
открытым и в
,
является .
24. Докажите, что открытые множества открытого пространства открыты и во всем
пространстве.
25. Докажите, что замкнутые множества замкнутого пространства замкнуты во всем
пространстве.
-
Покажите, что замкнутость не является локальным свойством.
27. Пусть
и пусть
– замыкание относительно
.
Докажите, что
для любого
.
28. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение о внутренности.
29. Найдите
в стрелке, в дискретной топологии.
30. Найдите
в естественной топологии на
.
-
Задача Куратовского. Какое наибольшее число попарно различных множеств
можно получить,
применяя к нему последовательно операции
и
.
32. Постройте пример, демонстрирующий, что точка прикосновения может не быть
предельной точкой.
33. Укажите
предельные и изолированные точки
множества
,
и
в естественной топологии, топологии
Зарисского, Зоргенфрея на
.
34. Докажите, что следующие условия равносильны:
а)
локально замкнуто в
;
б)
есть открытое подмножество своего
замыкания
;
в)
есть пересечение открытого и замкнутого
подмножества пространства
.
35. Пусть
.
Тогда
тогда и только тогда, когда
существует
окрестность
точки
,
такая, что
;
тогда и только тогда, когда для любой
окрестности
точки
имеем
.
36. Доказать,
что открытый диск
в евклидовом пространстве является
открытым множеством.