Основные теоремы

Теорема 54. Каждая точка топологического пространства содержится в некоторой компоненте линейной связности.

Теорема 55. Две компоненты линейной связности либо не пересекаются, либо совпадают.

Теорема 56. Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен.

Теорема 57. Всякое линейно связное пространство связно.

Теорема 58. Пусть и . Тогда множество не является линейно связным.

Теорема 59. В пространстве, каждая точка которого обладает линейно связной окрестностью, компоненты линейной связности открыты.

Теорема 60. Для пространств, в которых каждая точка обладает линейно связной окрестностью, связность и линейная связность равносильны.

Теорема 61. Для открытых подмножеств евклидова пространства связность и линейная

связность равносильны.

Теорема 62. Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая центрированная совокупность его замкнутых множеств обладает непустым пересечением.

Теорема 63. Подмножество топологического пространства компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в , можно выделить конечное подпокрытие.

Теорема 64. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно.

Теорема 65. Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

Лемма. Если - компактное подмножество хаусдорфова пространства и - точка этого пространства, не лежащая в , то существуют такие открытые множества , что и .

Теорема 66. Компактное хаусдорфово пространство регулярно.

Теорема 67. Отрезок компактен.

Теорема 68. Куб компактен.

Теорема 69. Компактное подмножество метрического пространства ограничено.

Теорема 70. Подмножество евклидова пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Теорема 71. Непрерывный образ компактного пространства компактен.

Теорема 72. На компактном множестве всякая непрерывная функция ограничена и достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Лемма. (Лебега) Пусть - непрерывное отображение компактного метрического пространства в топологическое пространство , и пусть - открытое покрытие пространства . Тогда существует такое число , что образ любого множества диаметра, меньшего , содержится в некотором элементе покрытия .

Теорема 73. Непрерывное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство замкнуто.

Теорема 74. Непрерывная инъекция компактного пространства в хаусдорфово является топологическим вложением.

Теорема 75. Непрерывная биекция компактного пространства на хаусдорфово является

гомеоморфизмом.

Теорема 76. Компактное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности,

секвенциально компактно.

Теорема 77. В компактном пространстве всякое бесконечное множество обладает точкой накопления.

Теорема 78. Всякая убывающая последовательность непустых замкнутых множеств

секвенциально компактного пространства обладает непустым пересечением.

Теорема 79. Секвенциально компактное пространство со счетной базой компактно.

Теорема 80. Для пространств со счетной базой компактность и секвенциальная крмпактность равносильны.

Теорема 81. Секвенциально компактное метрическое пространство сепарабельно.

Теорема 82. Для метрических пространств компактность и секвенциальная компактность равносильны.