4.7. Двумерный нормальный вектор

Нормальное распределение m-мерного случайного вектора описывается формулой

Здесь - математическое ожидание, а- ковариационная матрица вектораX.

Рассмотрим двумерный вектор

где - дисперсии проекций вектора,r- коэффициент корреляции. Сокращение числа проекций до двух позволит использовать графические иллюстрации.

Определитель ковариационной матрицы

Матрица, обратная ковариационной

Показатель экспоненты в формуле плотности распределения

Таким образом, плотность распределения вектора равна

Интегрируя эту формулу по одному из аргументов в бесконечных пределах, найдем распределение второго аргумента. Так

.

Следующий шаг - определение условного распределения одного аргумента при фиксированном значении другого. Плотность условного распределения случайной величины такова

Характер и соотношения между приведенными плотностями распределения иллюстрируется рис. 4.2. Плотность условного распределения можно записать более компактно, если ввести обозначения для математического ожидания и дисперсии условного распределения.

Аналогично

С учетом введенных обозначений

Рассечем на разных уровнях поверхность плоскостями, параллельными плоскости. Линии пересечения представляют собой эллипсы. Один из них изображен на рис. 4.3. Здесь же нанесены уравнения для математических ожиданий условных распределений. Эти линии называются линиями регрессии (регрессиисоответственно). Термин регрессия введен английским статистиком и антропологом Ф. Гальтоном для обозначения зависимости между ростом потомков и предков. Сейчас этот термин означает зависимость математического ожидания условного распределения одной случайной величины от значения другой случайной величины (одной или нескольких).

В заключение построим каноническое разложение вектора по собственным векторам его ковариационной матрицы. Из определения собственных векторов получаем систему уравнений:

Ее характеристическое уравнение

имеет решением собственные значения ковариационной матрицы:

Для упрощения дальнейших преобразований положим

 ₁ = ₂ = 1, тогда _1,2 = 1  r.

После подстановки в систему уравнений с неизвестными собственными векторами найдемZ₁ . Поскольку определитель системы равен нулю, второе уравнение заменим условием нормировки. Тогда

Продолжая числовой пример, найдем Поступая аналогично, найдем проекции второго вектора.

Собственные векторы совпадают с осями симметрии эллипса (см. рис. 4.3).

Мы рассмотрели двумерный вектор. В m- мерном случае многие из рассмотренных положений сохраняются, другие усложняются. Так увеличивается число условных распределений, а эллипсы рассеивания превращаются в гиперэллипсоиды.

Упражнения.

1. Приведите не менее 10 примеров случайных векторов.

2. Объясните, почему совокупность случайных величин в п. 3.6 не рассматривалась как случайный вектор?