4.5. Каноническое разложение случайного вектора

Каноническим разложением случайного вектора называется приведение его к вектору с некоррелированными координатами:

Здесь - математическое ожидание вектораX; - детерминированные (неслучайные) векторы, называемые координатными;u_i - система некоррелированных случайных величин.

Каноническое разложение случайного вектора сводит задачу его моделирования к уже рассмотренной задаче моделирования случайных величин.

Рассмотрим разложение вектора X с ковариационной матрицей по собственным векторам этой матрицы. Пусть- собственные вектора матрицы, аF - составленная из них матрица (4.5). Введем случайный вектор - столбец

,

и определим его ковариационную матрицу

Используем теперь определение матрицы F и свойства собственных векторов ковариационной матрицы для определения ковариационной матрицы вектораU:

Учитывая, что собственные векторы ортогональны и нормированы, видим, что ковариационная матрица вектора U имеет диагональную структуру:

Таким образом, проекции вектора U некорелированы, а дисперсии его проекций равны собственным значениям матрицы :

Вернемся к определению вектора U.

Умножим обе части равенства слева на матрицу F.

Учтем, что являются обратными матрицами, тогда окончательно получим:

Или иначе

Или, наконец, для проекций вектора X

, j=1,...m.

Следует напомнить, что первый индекс в обозначении проекции вектора Z соответствует номеру вектора, а второй - номеру его проекции.

Другой способ построения канонического разложения случайного вектора основан на разложении его ковариационной матрицы на множители: . Введем такой вектор, чтоТогда

Для того чтобы выполнялось равенство необходимо, выбирая векторV положить

Следовательно, вектор V должен иметь некоррелированные проекции, дисперсии которых равны единице. Итак,

представляет собой каноническое разложение случайного вектора X.

Вообще, для любого случайного вектора с конечной ковариационной матрицей существуют кроме рассмотренных бесчисленное множество других канонических разложений, отличающихся друг от друга, например, модулем(длиной) собственных векторов ковариационной матрицы.

4.6. Моделирование несущей способности листового проката

Многие элементы конструкции ракет изготовляются из листового проката. Прочность и жесткость таких деталей зависит от толщины листа t, предела прочности _в предела пропорциональности и модуля упругостиE. Все это случайные величины. Их рассеивание вызывается вариациями химического состава и нестабильностью металлургического и прокатного производств.

Образуем случайный вектор-столбец с проекциями

Введем вектор математических ожиданий и ковариационную матрицу

Напомним, что ковариации можно выразить через коэффициент корреляции и дисперсии

Числовые значения коэффициентов корреляции и дисперсий для авиационных материалов можно найти в литературе, например, в справочнике [4]. Так для листового проката из сплава Д16АМТ шириной 1200 мм и толщиной от 1 до 4 мм вероятностные характеристики имеют следующие значения:

- средние квадратические отклонения

толщины листа - 0.03...0.04 мм;

предела прочности - (0.9...1.2)

предела пропорциональности - (0.7...1.2)

модуля упругости (ориентировочно) - 0.05E;

- коэффициенты корреляции (ориентировочно)

толщины листа и предела прочности - -0.2;

толщины листа и предела пропорциональности - -0.2;

толщины листа и модуля упругости - 0;

предела прочности и предела пропорциональности - 1.

Все компоненты вектораX распределены нормально. В качестве примера на рис. 4.1 [2] приведен полигон распределения прочности листов из сплава Д16 толщиной 1.5 мм и выравнивающая кривая нормального закона.