46

Глава 4.Моделирование случайных векторов

Случайный вектор - это упорядоченный набор (система) случайных величин. Ранее уже встречались наборы независимых случайных величин. В этой главе рассматриваются системы случайных величин, зависящих друг от друга. Примеры случайных векторов: вектор скорости зенитной ракеты, наводимой на цель, совершающей противоракетный маневр; вектор состояния реальной атмосферы (температура, давление, плотность, влажность, направление и скорость ветра); вектор свойств конструкционного материала (плотность, временное сопротивление , модуль упругости и пр.).

4.1. Ковариация

Ковариацией двух скалярных случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения центрированных X и Y.

Слово ковариация происходит от латинского co - вместе и variatio – изменение.

Здесь и далее нулем отмечены центрированные случайные величины.

Если X и Y - непрерывные случайные величины, то

(4.1)

где - плотность совместного распределения случайных величин.

За характеристику линейной зависимости между X и Y применяется отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений называемое коэффициентом корреляции

Ковариация и коэффициент корреляции независимых случайных величин равны нулю. Если X = Y, то ЕслиX = -Y, то

Величина ковариации обычно устанавливается опытным путем. Статистическая оценка ковариации находится по соотношениям

Обработка опытных данных должна включать также оценку точности определения ковариации.

4.2. Математическое ожидание и ковариационная матрица случайного вектора

Как правило, под вектором будем понимать матрицу-столбец

Учтем, что математическое ожидание матрицы равно матрице, составленной из математических ожиданий ее элементов.

Ковариационной матрицей случайного вектора называется матрица, составленная из дисперсий и ковариаций проекций вектора.

(4.2)

Ковариационная матрица симметрична относительно главной диагонали так как . Это означает, что.

4.3. Линейное преобразование случайного вектора

Из определения математического ожидания следует, что

Здесь A,B,C - неслучайные матрицы, структура которых допускает приведенные операции сложения и умножения.

Для линейного преобразования случайного вектора

справедливо следующее

Действительно

Последний результат очень важен и будет часто использоваться.

4.4. Собственные векторы ковариационной матрицы

Как следует из 4.2, случайный вектор X с m компонентами имеет квадратную и симметричную относительно главной диагонали ковариационную матрицу K порядка m. Вектор Z и переменная называются собственным вектором и собственным значением матрицы, если они удовлетворяют равенству

, (4.3)

из которого следует, что умножение собственного вектора слева на матрицу K изменяет его модуль, но не изменяет направления.

Перепишем приведенное равенство в виде однородной системы линейных уравнений

(4.4)

Здесь E - единичная матрица порядка m. Отличное от нуля решение этой системы существует только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Это уравнение степени m относительно неизвестной . Оно называется характеристическим уравнением матрицы. Доказано, что если матрица вещественна и симметрична, то все ееm корней - вещественны и различны. Подстановка собственных значений матрицы в исходную систему уравнений (4.4) дает возможность определить собственные векторы

Собственные векторы ортогональны, то есть

Для доказательства этого важного свойства составим произведение и раскроем его двумя различными способами, используя равенство (4.3). Во-первых,

Во-вторых,

Поскольку , полученные выражения равны только при условии ортогональности векторов.

Система (4.4) определяет лишь направление, но не длину (модуль) собственных векторов. Действительно вектор W=CZ, отличающийся от собственного вектора только длиной, также удовлетворяет равенству (4.4).

.

Поэтому будем считать, что модуль каждого собственного вектора равен единице

Образуем из векторов Z квадратную матрицу F порядка m:

F(4.5)

Как установлено, столбцы этой матрицы, во-первых, ортогональны, а во-вторых, нормированы.

Установим еще одно свойство матрицы F. Умножим матрицу F слева на матрицу F транспонированную и раскроем произведение.

Таким образом, транспонирование матрицы F одновременно является операцией обращения:

В заключение, не смотря на очевидность, подчеркнем, что также как сама ковариационная матрица случайного вектора, ее собственные векторы и собственные значения неслучайны.