6. Контрольные вопросы

1. Определения случайного потока событий и системы массового обслуживания.

2. Свойства простейшего потока событий.

3. Распределения вероятностей, присущие простейшему потоку событий.

4. Схема гибели и размножения.

5. Формулы Литтла.

6. Показатели эффективности работы СМО.

Работа № 6. Вычисление определенных интегралов (тема «Метод Монте - Карло»)

1. Модель. Описание работы и индивидуальные задания заимствованы из [4].

В лабораторной работе требуется вычислить интеграл

(6.1) где - заданные кусочно-непрерывные функции. Функцияр(х), называемая весовой, удовлетворяет условиям

(6.2) т.е. она неотрицательна и несобственный интеграл (6.2) сходится. Поскольку в формуле (6.1) промежуток интегрирования бесконечен, то использование известных методов вычисления определенных интегралов - методов прямоугольников, трапеций, Симпсона и др. – затруднительно.

Идея численного интегрирования методом Монте-Карло базируется на следующих соображениях. Если нормировать весовую функцию p(х) делением на постояннуюc, то полученная функция

(6.3) может рассматриваться как плотность распределения некоторой случайной величины ξ, Интеграл (6.1) принимает вид

из свойств математического ожидания следует представление

, где M[φ(x)] - математическое ожидание случайной величины η = φ(ξ). Потому интеграл (6,1) приводится к виду

(6.4) т.е. выражается через математическое ожидание функции φ(ξ) случайной величины ξ, Из формулы (6,4) следует вычислительный алгоритм метода Монте-Карло:

а) разыгрывается на ЭВМ n независимых реализаций ξ₁, ξ₂,…ξ_n, случайной величины ξ с плотностью вероятности вида (6,3);

б) вычисляются значения η_ί = φ(ξ _ί), ί = 1,..n функции φ (х) в случайной точке х = ξ _ί;

в) за приближенное значение интеграла принимаем

(6,5)

где m_n - среднее арифметическое значение

(6.6)

Теоремы теории вероятностей (закон больших чисел) гарантируют, что при величинаm_n стремится к истинному значению интеграла.

Отметим, что, как правило, интеграл, подлежащий вычислению, имеет вид

Для применения метода Монте-Карло нужно подынтегральную функцию преобразовать к виду Ф(х) = φ(х) р(х), т.е. выделить весовую функцию р(х) со свойствами (6.2). Выбор весовой функции осуществляется неоднозначно. Чаще всего в качестве р(х) принимают плотность распределения какой-либо типовой случайной величины с известным моделирующим алгоритмом. Например, для интегралов

(6.7) (6.8)

можно принять

в первом случае, а во втором

Соответственно функция φ(х) определяется формулами:

При вычислении интеграла (6.8) используется алгоритм моделирования экспоненциального распределения а для (6.7) - нормального закона.

Метод Монте-Карло дает приближенное значение интеграла в виде случайной величины. Точность вычисления характеризует доверительный интервал

(6.9) со случайными концами. Середина интервала I равна J_n.

Здесь с - постоянная, определенная формулой (6.2), а s оценка среднеквадратического отклонения

случайной величины η = φ(ξ). Доверительный интервал накрывает истинное значение интеграла J с вероятностью β. С увеличением числа испытаний n длина доверительного интервала стремится к нулю.