Проверка гипотез о законе распределения Критерий соответствия (согласия) χ2

Проводя графическое сравнение гистограмм с кривой плотности распределения, можно составить представление о большей или меньшей близости теоретического и эмпирического распределений. Рассмотрим критерий проверки по данным выборки гипотезы о том, что данная величина X подчинена закону распределения F(x).Одним из наиболее употребительных критериев является критерий χ² (К. Пирсона). Допустим сначала, что наша гипотеза полностью определяет вид функции распределения F(х). Такая гипотеза называется простой. Пусть, далее, вся область изменения величины X разбита на конечное число m интервалов Δ₁, Δ₂, ..., Δ_m, с границами X₀, X₁,…X_m Пусть р_j, есть вероятность для величины Х при данном распределении F(x) принять значение, принадлежащее j-му множеству Δ_j; а n_j,—число значений Х из общего числа их N в выборке попавших в Δ_j;. При этом, очевидно, должны выполняться условия (с потерей одной степени свободы)

Если проверяемая гипотеза верна, то n_j представляет частоту появления события, имеющего в каждом из N произведенных испытаний вероятность р_j; следовательно, можно рассматривать n_j, как случайную величину, подчиняющуюся биномиальному закону распределения с центром в точке Np_j и средним квадратичным Когда N велико, можно считать, что частота распределена асимптотически нормально с теми же параметрами. При правильности нашей гипотезы мы можем ожидать, что будут асимптотически нормально распределены (в совокупности) также величины

В качестве меры расхождения данных выборки n₁, n₂,…,n_m с “теоретическими” данными Np₁, Np₂,…,Np_m рассмотрим величину

Для практических приложений часто удобно использовать следующее легко выводимое равенство:

Если параметры распределения неизвестны (т.е. гипотеза не простая) и подлежат оцениванию по данным выборки, а число параметров равно k, то на уклонения накладывается тем самым еще k связей; поэтому число независимых между собой уклонений (число степеней свободы) в этом случае будет m-k-1.

Предположим, например, что мы проверяем гипотезу нормальности для некоторого наблюденного распределения. Заменяя неизвестные параметры центра рассеивания μ и дисперсии σ² их эмпирическими оценками и s² соответственно, будем в качестве приближения к теоретической плотности рассматривать функцию

.

В этом случае в качестве оценки вероятности попадания в какой-нибудь интервал Δ_j естественно считать:

Если проверяемая гипотеза верна, то случайная величина

имеет распределение χ².Графики этого распределения для разных чисел степеней свободы показаны на рисунке.

Решающее правило: если , то гипотеза принимается, иначе отвергается.

Расчеты по проверке гипотезы целесообразно свести в приведенную ниже таблицу.

Принято считать, что ξ_j и n_j распределены практически нормально, если Np_j ≥ 10. Если есть интервалы со значениями Np_j меньше 10, то следует объединить соседние группы.

i	Xi		F(ti)	pj= F(ti)-F(ti-1) i=1,2,…m	nj	nj2		j
0	X0	t0	F(t0)	p0	-	-	-	-
1	X1	t1	F(t1)	p1	n1			1
2	X2	t2	F(t2)	p2	n2			2
3	X3	t3	F(t3)	p3	n3			3
…	…	…	…	…	…			…
…	…	…	…	…	…			…
m-2								m-2
m-1								m-1
m								m

Обозначения в таблице:

N – размер выборки,

i – номер границы участка,

j – номер участка,

X_i - значение границы участка,

- выборочное среднее арифметическое,

S – среднее квадратичное отклонение,

F(t_i) – Функция “теоретического” распределения,

n_j – число выборочных значений в j-ом интервале.