- •Л.Н. Бызов
- •Глава 1 Модели и моделирование
- •1.1. Классификация и функции моделей
- •Глава 2 Моделирование случайных событий
- •Глава 3 Моделирование непрерывных случайных величин
- •Глава 4 Моделирование случайных векторов
- •Глава 5 Потоки событий
- •Глава 6 Марковские процессы
- •Основное свойство цепи Маркова заключается в следующем
- •Глава 7 Непрерывные цепи Маркова
- •Дифференцируя это выражение, найдем
- •Глава 8 Метод динамики средних
- •Глава 9 Модели массового обслуживания
- •Глава 10 Моделирование непрерывных случайных функций
- •Разложение (10.1) называется каноническим, если
- •Глава 11 Реакция технических систем на случайное воздействие
- •Глава 12 Заброс случайной функции за заданный уровень
- •Литература
Балтийский государственный технический университет
им. Д.Ф. Устинова (Военмех)
Л.Н. Бызов
МОДЕЛИРОВАНИЕ
Учебное пособие
1998
Аннотация
Учебное пособие содержит материал, соответствующий программе дисциплины "Моделирование", читаемой на 5 семестре студентам по специальности XXXXXX направления XXXXX.
Оглавление
Введение 4
Глава 1. Модели и моделирование 5
Глава 2. Моделирование случайных событий 11
Глава 3. Моделирование непрерывных случайных величин 23
Глава 4. Моделирование случайных векторов 38
Глава 5. Потоки событий 51
Глава 6. Марковские процессы 58
Глава 7. Непрерывные цепи Маркова 67
Глава 8. Метод динамики средних 75
Глава 9. Модели массового обслуживания 81
Глава 10. Моделирование непрерывных случайных функций 96
Глава 11. Реакция технических систем на случайное воздействие 109
Глава 12. Заброс случайной функции за заданный уровень 121
Литература 125
Введение
Курс "Моделирование" читается студентам на 5 семестре по специальности XXXXXXXX "Ракетостроение". Курс посвящен, в основном, комплексу вопросов, относящихся к моделированию стохастических объектов, а именно, случайных событий, случайных величин, случайных векторов и процессов.
Отбор материала продиктован, с одной стороны, ограниченным объемом курса (68 час.) и, с другой, - широким внедрением компьютерных технологий в инженерную деятельность.
Дисциплина состоит из двух равных по объему частей: лекций и лабораторных работ, выполняемых в интерактивном режиме на ПК ЭВМ. В лекционной части курса рассматриваются методы построения имитационных моделей, планирование и обработка простейших вычислительных экспериментов. Лабораторные работы иллюстрируют теоретические положения примерами.
Учебное пособие полностью соответствует программе дисциплины.
Курс "Моделирование" дает, конечно, лишь начальное представление о технологии имитационного моделирования. Для серьезного изучения проблемы следует обращаться к специальным руководствам, например, к монографии [13], содержащей обширную библиографию.
Глава 1 Модели и моделирование
1.1. Классификация и функции моделей
Под моделированием понимается воспроизведение одного предмета (явления, системы) посредством другого, в чем-то аналогичного ему. Иначе, моделирование - способ, прием познания, позволяющий посредством одной системы (естественной, а чаще всего искусственный, созданной человеком) воспроизвести другую, более сложную систему, являющуюся объектом исследования. Система, воспроизводящая объект исследования, является его моделью. Имеется два основных класса моделей: модели материальные и модели идеальные. Модели материальные представляют собой вещественное воспроизведение исследуемого объекта. Модели идеальные являются совокупностью мыслительных элементов - математических и иных формул, уравнений, логических символов, различного рода знаков т.д.
Модель - эффективное средство научного познания. Она приходит на помощь исследователю тогда, когда исследуемый объект не может быть изучен непосредственно по причине громоздкости, отдаленности, в силу присущих ему чрезмерно высоких или низких температур, давлений, токсичности и пр.; в силу того, что непосредственное изучение может привести к нарушению функций предмета или даже к его разрушению. Достоинство моделирования состоит также в том, что оно позволяет изучать объекты, которых еще нет и которые должны быть созданы. В этом случае сначала строится модель, а затем, после того как она успешно пройдет теоретическую и экспериментальную проверку, на ее основе создается сам объект.
Примеры моделей: чертеж машины, принципиальная схема радиоприемника, аэродинамическая модель летательного аппарата, классическая механика, квантовая механика - модель микромира, теория вероятностей - математическая модель явлений природы, технических объектов, систем или процессов, обладающих статистической устойчивостью.
К помощи моделей прибегают в многочисленных и разнообразных случаях. Их основная функция - познавательная не является единственной. Следующие пять функций стали привычными:
1) средство осмысления действительности;
2) средство общения (чертеж, схема);
3) средство обучения и тренажа (тренажеры летчиков, космонавтов);
4) средство прогнозирования (например, погоды);
5) средство постановки экспериментов не только физических, но и численных на ЭВМ.
Рассматривая модели, будем различать следующие их типы:
1) статические (чертеж ракеты) и динамические (телеметрический образец ракеты);
2) детерминированные и стохастические (например, стандартная атмосфера по ГОСТ и модель турбулентного движения воздушных масс - CIRA);
3) дискретные и непрерывные (законы распределения случайных величин Бернулли и Гаусса соответственно);
4) символьные, аналоговые и натурные (например, система дифференциальных уравнений теплового баланса, аналоговая ЭВМ, настроенная для той же задачи, лабораторная установка для изучения процесса теплообмена).
В дальнейшем изложении основное внимание уделено математическим стохастическим моделям.
1.2. Модель функционирования системы
В основе построения математической модели сложного объекта лежат понятия системы, элемента, структуры системы и ее функций. Разобьем систему на составные части — элементы. Эта операция называется декомпозицией. Декомпозиция всегда условна и может быть выполнена многими различными способами. Теперь систему можно изобразить в виде графа. Вершины графа соответствуют элементам системы, а дуги - взаимодействиям элементов между собой. Пример — система управления полетом ракеты (рис. 1.1). Каждый элемент и каждое взаимодействие, изображенное дугой графа, требуют соответствующего математического описания. На рис.1.1 использованы следующие обозначения:
Рис. 1.1
ИП - прибор, измеряющий угловую координату ракеты,
ПУ - программное устройство,
УП - усилитель-преобразователь,
РМ - рулевая машина,
Р - руль (орган управления),
ОУ - объект управления (ракета).
Рассмотрим один из элементов системы. Воздействие других элементов на него называется входом, а воздействие данного элемента на другие - выходом. Сам же элемент характеризуется состоянием. Математически вход, выход и состояние описываются переменными во времени величинами (векторами). Элемент называется неразложимым, если его состояние полностью определяется одной переменной. В противном случае элемент следует называть подсистемой. На число входных и выходных переменных ограничений не накладывается.
Операция обратная декомпозиции называется агрегатированием. Результат агрегатирования — модель системы — должен быть адекватен самой системе, по крайней мере, в главном.
Кроме изучаемой системы обычно приходится рассматривать еще одну систему — окружающую среду, олицетворяющую условия функционирования системы. Математическое взаимодействие системы с внешней средой описывается входом и выходом системы. Различают два вида систем (рис.1.2): открытые и замкнутые. Выход замкнутой системы изменяет свойства внешней среды и тем самым влияет на вход. В открытой системе влияния выхода на вход нет.
Рис. 1.2
Итак, декомпозиция заключается в раздельном математическом описании отдельных элементов системы и взаимодействий между ними. Модель системы в целом получается объединением всех описаний элементов и взаимодействий. Для описания поведения системы используются понятия состояния системы и перехода между состояниями. Обозначим:
S(t) - вектор переменных состояния;
U(t) - входной сигнал системы;
W(t) - вектор случайных возмущений;
V(t) - вектор выходного сигнала системы.
Динамика изменения вектора переменных состояния может быть определена в виде отображения
S(t+dt) = L{S(t), U(t), W(t), dt}. (1.1)
Сюда надо добавить функцию выхода (вектор выходного сигнала системы)
V(t) = M{S(t), U(t), W(t)} (1.2)
Здесь L и M - некоторые операторы. Ясно, что если система состоит из неразложимых элементов и число элементов системы равно k, то S(t) - k- мерная вектор-функция.
S(t) = [s1(t), s2 (t),...,sk(t)].
Зависимость вектора S от времени называется траекторией системы.
Соотношения (1.1) и (1.2) образуют модель функционирования системы.
Под моделированием подчас понимают и построение модели и исследования, выполняемые на модели. Рассмотрим термин во втором значении. Если моделирование воспроизводит процесс функционирования, то такое моделирование называется имитационным (simulation). При имитации сохраняется хронологическая последовательность изменения переменных состояния системы и ее модели. Можно также сказать, что имитационное моделирование - это построение траектории системы. Возможен и другой подход – анализ системы уравнений, представляющих собой модель системы, используя эквивалентные математические преобразования. Такое моделирование называется аналитическим.
Рассмотрим пример. Система - соединение танков, ведущих бой с соединением вертолетов (это внешняя среда). Переменная состояния S(t) - суммарный боекомплект танков. S(t) изменяется в случайные моменты, во-первых, в связи с расходованием боекомплекта для борьбы с вертолетами, во-вторых, в связи с гибелью танков. Рассматриваем малый интервал времени dt и два случайных события:
A - за dt танки произведут один выстрел;
B - за dt вертолеты уничтожают один танк.
Тогда
Здесь N - случайная величина - остаток боекомплекта в уничтоженном танке.
Вероятность события A: P(A)= c1k1dt;
Вероятность события B: P(B) =c2k2pdt,
где c1 и c2- скорострельности танка и вертолета;
k1 и k2 - число боеспособных танков и вертолетов;
p - вероятность уничтожения танка одиночным ПТУР.
Конечно, приведенные выражения справедливы только пока S(t) > 0.
1.3.Концептуальная (апроксимационная) модель
Цель моделирования, как правило, не сводится к трассировке (построению траектории). Всякая система характеризуется некоторым набором показателей. Например, показателями соединения танков могут быть вероятность победы, средний расход боекомплекта в одном бою и проч. Обозначим совокупность таких показателей вектором Y. Показатели системы зависят от параметров самой системы, параметров входного сигнала и случайных воздействий. Совокупность параметров системы и входного сигнала обозначим вектором X, а случайные воздействия, по-прежнему -W. Тогда
Y = f (X, W). (1.3)
Зависимость между вектором Y и векторами X и W заложена в исходной модели в неявном виде. Цель моделирования состоит в переходе от неявной модели (1.1, 1.2) к явной (1.3). Первую из них называют моделью функционирования, а вторую - концептуальной. Для построения концептуальной модели в имитационном моделировании используют машинный (численный) эксперимент. Эксперимент состоит из ряда опытов. Каждый опыт - это "прогон" модели функционирования. Если система (и модель) имеет стохастический (т.е. вероятностный) характер, то один прогон еще ни о чем не говорит. Число прогонов при неизменном векторе X должно быть достаточно большим, чтобы за счет усреднения уменьшить влияние случайных возмущений. Изменяя компоненты вектора X и фиксируя вектор Y, получают пары (X, Y)i. (i = 1...n).
Следующий шаг - аппроксимация зависимости (1.3) подходящей эмпирической зависимостью (например, полиномом).
На рис. 1.3 приведена блок-схема решения задачи. Здесь в качестве кибернетического черного ящика выступает неизвестная концептуальная модель, неявно содержащаяся в модели функционирования (1.1), а - мера различия между показателем (показателями) Y системы и его (их) оценкой по эмпирической концептуальной модели. Если вид аппроксимирующей функции подобран удачно, то задача сводится к определению наилучших значений параметров . Чаще всего это выполняется методом наименьших квадратов.
(1,2, …,m)
Рис. 1.3
Упражнения.
1. Придумайте несколько примеров систем. Определите их тип в соответствии с рассмотренной классификацией. Для стохастических систем укажите случайные факторы и величины.
2. Перечислите, в чем сходство и в чем различие физического и численного (машинного) экспериментов.
3. Чем отличаются численные эксперименты на детерминированной и стохастической моделях.