3.3.2. Проверка гипотез о параметрах

Рассмотрим первую группу задач статистической проверки ги­потез, обеспечивающих принятие решений о средних значениях параметров. Возможны две основные задачи: проверка соот­ветствия математических ожиданий одноименных параметров (за­дача проверки однородности), проверка соответствия этих матема­тических ожиданий требованиям ТТЗ (ТУ).

В первом случае

и ,

или

, .

Во втором случае

; ; ; .

С точки зрения выбора статистики критерия, в первой задаче исходим из того, что генеральные средние неизвестны, а во второй – известны. К числу других признаков относятся: сведения о в генеральной совокупности (известно, неизвестно; или ) и объеме испытаний ( или ; или ). Заменяя в записи выборочными средними , приведем наиболее часто используемые при проверке однородности двух совокупностей статистики критериев.

Если известно, то применяется статистика

. (3.3.1)

Критическое значение находится из таблицы Приложения по величине . Гипотеза принимается, если . Формула (3.3.1) применима и в том случае, если неизвестно, но обе­ спечена равная точность измерений и . При малом числе испытаний и неизвестном значении используется статистика -критерия:

, . (1.3.2)

Когда , , , применяется статистика

. (3.3.3)

При меньшем числе испытаний и используется стати­стика

, . (3.3.4)

Число степеней свободы определяется из условия . Этот вариант соответствует случаю, когда испытания проводятся в различных условиях или различными приборами (ме­тодами).

Из приведенных зависимостей видно, что для проверки гипо­тез о средних необходимо предварительно проверить стабильность условий испытаний (гипотезы о дисперсиях).

При проверке гипотез , если значение известно, вместо формулы (3.3.1) применяется

,

а если сведения о отсутствуют, то

, . (3.3.5)

3. Принятие решений о стабильности условий испытаний

Принятие решений о характеристиках точности осуществляется по результатам проверки гипотез относительно дисперсий (или

среднего квадратического отклонения): 1) , или , ; 2) , или , . Для второго случая характерна задача проверки стабильности условий испытаний, когда сравнивается точность работы приборов, инструмента или используемых методов измерений. Для проверки гипотезы применяется статистика -распределения

(3.3.6)

или статистика

(3.3.7)

Критическое значение выбирается по табл. П.2.6 по , и .

Пример. По данным летных испытаний ( ) получена оцен­ка среднего квадратического отклонения по дальности км. Проверить при соответствие установленному в ТЗ требова­нию км.

Решение.

1. Выдвигается гипотеза , .

2. Для проверки гипотезы выбирается -критерий.

3. По , (так как ), из табл. П.2.6 получаем .

4. 

5. Статистическое решение: гипотеза не противоречит ре­зультатам испытания и может быть принята. Инженерное реше­ние: рассеивание по дальности удовлетворяет требованиям ТЗ.

Если сравнивается несколько дисперсий ( ), то используют критерий Кохрена (если число испытаний ) или критерий Бартлетта.

Статистика критерия Кохрена

; . (3.3.8)

Критическое значение определяется по табл. П.2----?.

Статистика критерия Бартлетта

, . (3.3.9)

где ; ; , подчиняется -распределению с степенями свободы. Значе­ние находится по табл. П.2.4-----?.

Обозначим через исследуемую случайную величи­ну. Пусть требуется проверить гипотезу о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределе­ния . Для проверки гипотезы произведем выборку, состоящую из независимых наблюдений над случайной величиной . По выборке можно построить эмпирическое распределение исследуемой случайной вели­чины. Сравнение эмпирического и теоретического распределений производится с помощью, специально по­добранной случайной величины – критерия согласия. Существует несколько критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Критерий согласия Пирсона – наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения.

Рассмотрим этот критерий. Разобьем всю область изменения на интервалов и подсчитаем количество элементов , попавших в каждый из интерва­лов . Предполагая известным теоретический закон рас­пределения , всегда можно определить (вероятность попадания случайной величины в интервал ), тогда теоретическое число значений случайной величины , попавших в интервал , можно рассчитать по формуле . Результаты проведенных расчетов объединим в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Интервалы			…		…
Эмпирические частоты			…		…
Теоретические частоты			…		…

Здесь ; .

Если эмпирические частоты сильно отличаются от теоретических, то проверяемую гипотезу следует от­вергнуть, в противоположном случае – принять.

Сформулируем критерий, который бы характеризовал степень расхождения между эмпирическими и теорети­ческими частотами. В литературе по математической ста­тистике доказывается, что статистика

имеет распределение с степенями свободы. Здесь число параметров распределения , рас­считанных по выборке.

Правило применения критерия сводится к следующему. Рассчитав значение и выбрав уровень значимо­сти критерия , по таблице -распределёния определяют . Если , то гипотезу отвергают, если , то гипотезу принимают. Очевидно, что при проверке гипотезы о законе распределения контролируется лишь ошибка первого рода.

В заключение заметим, что необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каж­дом из интервалов по меньшей мере 5-10 наблюдений. Если количество наблюдений в отдельных интервалах очень мало (порядка 1-2), то имеет смысл объединить некоторые интервалы. Проиллюстрируем применение критерия на двух примерах. В примере 6.5 разберем случай, когда ставится гипотеза о том, что исследуемая случайная величина подчиняется закону Пуассона, а в примере 6.6 – нормальному закону распределения.

Пример 6.5. На телефонной станции производились наблюдения за числом неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1; 4; 3; 3;; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1; 1; 5. Определить среднюю арифметическую и дисперсию неправильных соединений в минуту и проверить выполнение основно­го условия для распределения Пуассона . Найти тео­ретическое распределение Пуассона и проверить степень согласия теоретического и эмпирического распределений по критерию Пир­сона при уровне значимости .

Решение. Упорядочим результаты наблюдений, записав их в следующую таблицу

	0	1	2	3	4	5	6	7
	8	17	16	10	6	2	0	1

Обозначим через среднее число неправильных соединении в минуту. Имеем

Вычислим выборочную оценку дисперсии:

Необходимое условие для распределения Пуассона практически выполняется. Запишем теоретический закон Пуассона; в виде

.

Так как значение математического ожидания неизвестно, то подставим вместо него оценку по выборке. Имеем:

³, ,

, ,

, ,

, .

Запишем полученные результаты в таблицу 3.3.

Таблица 3.3

	0	1	2	3	4	5	6	7
	0	1	2	3	4	5	6	7
	8	17	16	10	6	2	0	1
	8,1	16,24	16,24	10,62	5,41	2,166	0,72	0,204

Объединим столбцы 5, 6 и 7, так как в каждом из них мало наблюдений. Тогда таблица преобразуется (табл. 3.4).

Таблица 3.4

	0	1	2	3	4	5
	0	1	2	3	4	5 и более
	8	17	16	10	6	3
	8,1	16,24	16,24	10,82	5,41	3,09

Вычислим значение :

.

Примем уровень значи­мости . Количество интервалов . По выборке вычислен, один параметр, ко­торым определяется закон Пуассона – математическое ожидание; следовательно, . Поэтому число степе­ней свободы . В табл. 7---------? прило­жений значениям и соответствует . Имеем , следовательно, нет оснований отвергнуть проверяемую ги­потезу.

Таблица 3.5

№ интервала
1	40-41	20
2	41-42	112
3	42-43	154
4	43-44	73
5	44-45	13
6	45-46	2
		374

Пример 6.6. Для управления качеством выплавляемой стали необходимо знание законов распределения ее механических свойств. Для исследования взято наблюдений над сталью марки 35 ГС. Необходимо проверить гипотезу о том, что механическое свойство (предел текучести) этой стали имеет нормальный закон распределения. По исходным наблюдениям рассчитаны: кг/мм²; кг/мм²; построен интервальный вариацион­ный ряд (табл. 3.5). Уровень значимости принять равным .

Решение. Как следует из анализа интервального вариацион­ного ряда, необходимо объединить интервалы 5 и 6, так как в интервале 6 количество наблюдений менее 5. В результате объеди­нения получим следующий ряд распределения:

	40-41	41-42	42-43	43-44	44-46
	20	112	154	73	15

Т еперь найдем вероятность ; выражает вероят­ность того, что случайная величина , имеющая нормальный закон распределения, принимает значение, принадлежащее интервалу (40; 41), то есть

Аналогично получаем: ; ; ; .

Для нахождения статистики удобно составить таблицу (табл. 3.6).

Таблица 3.6

№ п/п
1	40-41	20	0,0660	24,76	4,76	21,56	0,871
2	41-42	112	0,2762	103,70	8,30	68,89	0,664
3	42-43	154	0,3971	148,52	5,48	29,03	0,127
4	43-44	73	0,2128	79,59	6,59	43,43	0,546
5	44-46	15	0,0417	15,60	0,60	0,36	0,023
		374	0,9938	372,17			2,231=

Количество интервалов . По выборке рассчитаны два пара­метра: оценки для математического ожидания и дисперсии, следо­вательно, . Число степеней свободы .

В табл. 7-----------? приложений и соответствует . Имеем , следовательно, нет оснований отвергнуть гипоте­зу о нормальности распределения предела текучести.