- •Часть 1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент
- •Часть 1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава I. Системное моделирование – инструмент управления в больших системах
- •1.1. Понятия системного подхода и большой системы
- •1.2. Эффективность больших систем
- •1.3. Управление в больших системах
- •1.4. Структура систем управления
- •1.5. Основные понятия системного моделирования
- •Глава II. Моделирование систем методом статистических испытаний
- •2.1. Принципы построения математических моделей
- •2.2. Требования, предъявляемые к математическим моделям
- •2.3. Моделирование больших систем методом статистических испытаний. Сущность метода статистических испытаний. Точность метода
- •Вопрос 1.
- •2.3.1. Формирование непрерывных случайных величин с заданным законом распределения
- •2.3.2. Приближенные методы формирования случайных величин с заданным законом распределения вероятностей
- •2.3.3. Моделирование системы массового обслуживания
- •1,07 1,09 1,14 Моделируемое время t
- •2.3.4. Получение наблюдений при моделировании
- •Прикладные задачи имитационного моделирования
- •Ориентированный процесс случайного блуждания как метод прогнозирования
- •2.4.2. Модифицированный имитационным моделированием метод экспоненциального сглаживания
- •Глава III. Оценка качества моделей и планирование статистических испытаний
- •3.1. Оценка качества моделей
- •3.1.1. Методы повышения качества оценок показателей эффективности
- •3.1.2. Пассивные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.1.3. Активные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.1.4. Косвенные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.2. Планирование имитационных экспериментов
- •3.2.1. Общая схема испытаний
- •3.2.2. Полные факторные планы испытаний
- •3.2.3. Дробные факторные планы испытаний. Планирование испытаний
- •3.2.4. Анализ результатов испытаний
- •3.2.5. Оптимальные планы
- •Методы принятия решений по результатам испытаний
- •Общая процедура принятия решений
- •3.3.2. Проверка гипотез о параметрах
- •Принятие решений о стабильности условий испытаний
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
- •Оглавление
- •Глава I. Системное моделирование – инструмент управления в больших системах 6
- •Глава II. Моделирование систем методом статистических испытаний 43
- •Глава III. Оценка качества моделей и планирование статистических испытаний 147
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
3.2.2. Полные факторные планы испытаний
Планирование по схеме полного факторного плана предусматривает реализацию всех возможных комбинаций на каждом из выбранных уровней. Общее количество испытаний , где – количество уровней, – число факторов. , если при каждом сочетании факторов проводится только одно испытание. Если испытания проводятся при двух уровнях факторов , то реализуется план , при и т. д. Формирование ПФП включает два этапа.
На первом этапе выбирается совокупность факторов , удовлетворяющих сформулированным требованиям, после чего определяется локальная область факторного пространства, в которой намечается проведение испытаний. При планировании по схеме эта область устанавливается посредством задания основного уровня и интервала варьирования. Основным уровнем (центром плана) называют многомерную точку в факторном пространстве. В зависимости от целей испытаний координаты могут соответствовать поминальным значениям параметров или выбираться в центре области их изменения, подлежащей изучению. Интервал варьирования устанавливают симметрично относительно основного уровня и определяют для каждого из факторов по формуле
, (3.2.2)
где , – максимальные и минимальные значения каждого из факторов (определяющих фактор параметров).
Интервал варьирования выбирается из прогнозируемых значений выходного параметра и условий технической осуществимости вариаций входных воздействий с учетом затрат на выполнение работ.
Рис. 3.1. Схемы ПФП типа и
ПФП составляют в виде матрицы планирования, используя кодированную (безразмерную) систему координат. Переход к безразмерной системе координат осуществляется по формулам
; . (3.2.3)
В кодированной системе верхний уровень изменения любого фактора равен , нижний , а координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат. На рис. 3.1 изображены схемы ПФП типа и – соответственно прямоугольник и куб. Матрица ПФП , приведена в табл. 2.2, а (обозначение 1 в таблице опущено), где столбцы (вектор-столбцы) показывают, какие значения принимает каждый из факторов в очередном испытании, а строки (вектор-строки) характеризуют режим каждого отдельного испытания. Так, например, при изучении влияния условий подачи компонентов топлива на выходные параметры ЖРД первый опыт проводится при минимальных расходах горючего и окислителя, четвертый – при максимальных, второй – при максимальной подаче горючего и минимальной окислителя и т. д.
Таблица 2.2
Номер опыта |
|
|
|
|
Номер опыта |
|
|
|
|
|
1 |
+ |
– |
– |
|
1 |
+ |
– |
– |
+ |
|
2 |
+ |
– |
+ |
|
2 |
+ |
– |
+ |
– |
|
3 |
+ |
+ |
– |
|
3 |
+ |
+ |
– |
– |
|
4 |
+ |
+ |
+ |
|
4 |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
Первый столбец используется только для выполнения расчетов ( – фиктивная переменная). В последнем столбце записываются результаты испытания.
Порядок перехода от плана к плану показан в табл. 2.3. Аналогично методом «перевала» можно перейти к планам с большим числом факторов.
Таблица 2.3
Номер опыта |
|
|
|
|
|
Номер опыта |
|
|
|
|
|
1 |
+ |
– |
– |
– |
|
5 |
+ |
– |
– |
+ |
|
2 |
+ |
– |
+ |
– |
|
6 |
+ |
– |
+ |
+ |
|
3 |
+ |
+ |
– |
– |
|
7 |
+ |
+ |
– |
+ |
|
4 |
+ |
+ |
+ |
– |
|
8 |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
Приведенные в табл. 2.2 и 2.3 матрицы планирования обладают свойствами ортогональности, симметричности и нормировки.
Свойство симметричности относительно центра опыта заключается в том, что алгебраическая сумма элементов вектор-столбцов каждого из факторов равна нулю:
; ; . (3.2.4)
Условие нормировки подтверждается равенством суммы квадратов элементов каждого столбца числу опытов:
; . (3.2.5)
Свойство ортогональности определяется равенством нулю произведений любых двух вектор-столбцов:
; . (3.2.6)
Предполагается, что при перемножении элементов с одноименными знаками получаем , с разноименными .
Свойство ортогональности позволяет резко уменьшить трудоемкость вычислений коэффициентов регрессии, так как матрица нормальных уравнений становится диагональной, причем ее диагональные элементы равны числу испытаний , заданных матрицей ПФП.
Воспользуемся матрицей планирования (табл. 2.2.а) для получения уравнения регрессии вида
. (3.2.7)
При вычислении оценок коэффициентов регрессии по формуле последовательно получим
Отсюда
; ;
; .
Таким образом, каждый из коэффициентов вычисляется независимо и по простой формуле, которая в общем случае имеет вид
. (3.2.8)
Поскольку все диагональные элементы матрицы ошибок равны между собой, каждая из оценок получена с одинаковой (и минимальной) дисперсией
, (3.2.9)
где – ошибка опыта.
Рассмотренные ПФП являются оптимальными в том смысле, что при их реализации для данного числа испытаний определитель матрицы ошибок минимален. Геометрически это означает, что сведен к минимуму объем эллипсоида рассеивания оценок параметров. Важным свойством полученных планов является также ротатабельность, которая заключается в том, что точность предсказания значений выходной характеристики одинакова на равных расстояниях от центра плана и не зависит от направления.
План типа позволяет получить модель в виде уравнения второго порядка
Для вычисления коэффициента , характеризующего совместное воздействие факторов и вводится дополнительный вектор-столбец (табл. 2.2,б), элементы которого определяют, перемножая попарно элементы столбцов и .
Расширенная матрица ПФП , обеспечивающая получение модели в виде более сложного полинома
представлена в табл. 2.4. В нижней строке таблицы приведены вычисленные по формуле (3.2.8) оценки коэффициентов . Значения содержатся в последнем столбце.
Например,
;
.
Таблица 2.4
Номер опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
– |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
– |
8 |
2 |
+ |
– |
+ |
– |
– |
+ |
– |
+ |
4 |
3 |
+ |
+ |
– |
– |
– |
– |
+ |
+ |
5 |
4 |
+ |
+ |
+ |
– |
+ |
– |
– |
– |
10 |
5 |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
– |
+ |
6 |
6 |
+ |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
– |
8 |
7 |
+ |
+ |
– |
+ |
– |
– |
– |
– |
7 |
8 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
12 |
|
7,5 |
1 |
1 |
0,625 |
1,5 |
–2 |
0,75 |
-0,75 |
|