3.2.3. Дробные факторные планы испытаний. Планирование испытаний

Можно сократить число испытаний, если от ПФП перейти к дробным факторным планам, или дробным репликам от полного факторного эксперимента. При переходе от ПФП к ДФП важно сохранить ортогональность матрицы планирования. С этой целью в качестве реплики (ДФП) пользуются ПФП для меньшего числа факторов. Такая возможность существует, поскольку в ПФП число испытаний значительно превосходит количество определяемых ко­эффициентов линейной модели.

Пусть требуется получить уравнение регрессии вида

. (3.2.10)

Для решения задачи можно ограничиться четырьмя испытания­ми , если в ПФП (табл. 2.5, а) столбец использовать в качестве плана для (табл. 2.5, а). Теперь элементы столбца служат не для расчета оценки , а характеризуют уро­вень фактора в каждом из опытов. Использованный план составляет половину ПФП , называется полурепликой ( -репли­кой) от и записывается формулой . В рассмотренной задаче возможны два варианта ДФП (табл. 2.5, а, б).

Таблица 2.5

а) б)

Номер опыта					Номер опыта
1	–	–	+		1	–	–	–
2	–	+	–		2	–	+	+
3	+	–	–		3	+	–	+
4	+	–	+		4	+	+	–

Общее правило перехода от ПФП к ДФП сводится к следую­щему: для сокращения числа испытаний новому фактору присваи­вается вектор-столбец, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Формула ДФП имеет вид , где – количе­ство факторов, введенных посредством замещения исключаемых из рассмотрения взаимодействий. В зависимости от соотношения чисел и реализуются , , и т. д. реплики ПФП.

Сокращение числа испытаний в рассмотренном примере достиг­нуто за счет утраты части информации: из рассмотрения исключе­но парное взаимодействие . В результате полученные оценки , , оказались смешанными оценками генеральных коэффи­циентов

; ; ,

поскольку соответствующие вектор-столбцы совпадают ( неразличимо с и т. д.). Эффективность ДФП определится тем, насколько удачно выбрана система смешивания линейных эффек­тов и эффектов взаимодействий. Поэтому при обращении к ДФП необходимо уметь заранее установить, какие из , явля­ются несмешанными оценками соответствующих генеральных коэффициентов – определить разрешающую способность дробных реплик. Для этого находят применение понятия генерирующего со­отношения и определяющего контраста.

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан рассматриваемый эффект, называют генерирующим. В рассмотрен­ном примере это или . Определяющим контрас­том называется символическое обозначение произведения столб­цов. Умножая левую и правую части определяющего контраста на и памятуя, что , получим определяющий контраст или . Теперь, последовательно умножая левые и правые части на , , , можно выявить систему смешивания фак­торов. Для ДФП (табл. 2.5,б)

; ; ,

откуда следует система смешивания

; ; ,

Для ДФП (табл. 2.5, а) аналогичным путем получаются приведен­ные ранее соотношения.

Обращаясь к ДФП , заметим, что матрица (табл. 2.5, а, б) совпадает с ПФП (см. табл. 2.2). Иначе план является опор­ным при построении дробной реплики . При с помощью ДФП удается учесть только один дополнительный фактор. Оце­ним, сколько же дополнительных факторов можно учесть, исполь­зуя в качестве опорного ПФП . Из табл. 2.4 видно, что можно частично или полностью замещать четыре взаимодей­ствия то есть вводить дополнительно до четы­рех факторов. При замещении одного фактора имеет место ДФП ( -реплика от ПФП ), двух – ( от ПФП ),трех – ( от ), четырех – ( от ПФП ). Если замещению подлежат все взаимодействия, то план называют насыщенным. В этом случае в модели учитываются только линейные взаимодейст­вия. Для всех рассмотренных ДФП . Сравним, что при реализа­ции ПФП, если , то (используется ПФП ); при ( ); при ( ); при ( ). В табл. 2.6 приведен пример формирования ДФП при различном выборе генерирующих соотношений.

Последовательность формирования ДФП включает: уяснение количества факторов и допустимого числа (в примере ), выбор реплики ( ), построение опорного плана ( ), уста­новление генерирующих соотношений, нахождение определяющего контраста (обобщенного контраста), уяснение системы смешива­ния.

Выбор системы смешивания осуществляется на основе анализа физической сущности процесса, изучения конструкторской документации и данных предшествующих этапов испытаний. В общем случае стремятся отсеивать взаимодействия относительно высоких порядков.

Таблица 2.6

Генерирующее соотношение
Определяющий контраст
Система смешивания
,	,
,	,
,	,
Система оценок
Вид модели

При выборе, например, ДФП ( -реплики) возможны 12 вариантов решения. Если принять , , то система смешивания задается обобщающим определяющим контрастом, который получают, перемножая определяющие контрасты и между собой:

.

Тогда получается следующая система совместных оценок:

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Соответствующий план испытаний показан в табл. 2.7.

Таблица 2.7

Номер опыта						Номер опыта
1	–	–	–	–	+	5	–	–	+	+	+
2	–	+	–	+	–	6	–	+	+	–	–
3	+	–	–	+	–	7	+	–	+	–	–
4	+	+	–	–	+	8	+	+	+	+	+

ДФП типа , как и ПФП, обладают следующими преимуще­ствами: они ортогональны; каждый из коэффициентов вычисляет­ся по всем испытаниям; все коэффициенты вычисляются с оди­наковой и минимальной дисперсией.

При проведении испытаний учитывают, что изменение выход­ного параметра из-за влияния неконтролируемых факторов име­ет случайный характер. Поэтому предусматривается случайный порядок проведения испытаний (рандомизация факторов). С этой целью последовательность испытаний (реализация строк матрицы планирования) определяется с помощью таблицы случайных чисел.