3.1.2. Пассивные методы повышения качества оценивания показателя эффективности

Пусть в имитационной модели опе­рации нужно учесть случайных фак­торов . Поскольку для моделирования каждого из значений факторов исполь­зуют одно или несколько значений случайных чисел, имеющих равно­мерное распределение на интервале [0,1], то справедлива запись:

,

где – оператор преобразования;

– множество значений случайных факторов, учитываемых при моделировании;

– множество значений случайных вели­чин, имеющих равномерное распреде­ление на интервале ;

, – множество значений -го случайного фактора;

– множество значений -й слу­чайной величины.

Множество представляет собой -мерное пространство векторов со случайными координатами и называется выборочным пространством.

Поскольку имитационная модель при каждой конкретной стратегии управления каждому вектору значений случайных факторов ставит в соответствие единственное значение выходной характеристики , то можно утверждать, что каждой точке выбо­рочного пространства также соот­ветствует единственное значение . Для рассматриваемых ниже методов понижения дисперсии требуется, чтобы корреляция между каждым случайным вектором , моделируемым в экспери­менте, и выходными характеристиками модели была положительной и, по воз­можности, большой, то есть большим зна­чениям переменных должны соответствовать большие значения характеристик .

Это условие в имитационных моделях легко реализуемо, если учесть, что законы распределения случайных ве­личин и – тождественны, где – случайное число, имеющее равномерное распределение на интер­вале .

Наличие свободы выбора формы вы­борочного пространства является одним из основных отличий машинного экс­перимента от натурного (эксперимента с реальной системой).

Метод регрессионной выборки. Введем случайную величину , задан­ную на следующим образом:

, (3.1.5)

где вспомогательная переменная , определенная на , является случай­ной величиной, зависящей от -мерного вектора параметров .

Математическое ожидание случайной величины должно быть известно. Из (3.1.5) следует, что , а дисперсия

,

где – след корреля­ционной матрицы между переменными и . Если вспомогательную пере­менную ввести так, чтобы выполнялось условие , то для оцен­ки величины целесообразно исполь­зовать .

Для того чтобы дисперсия , опре­деляющая точность вычисления , была меньше , необходимо, чтобы был положительным числом, желательно большим, то есть корреляция между и должна быть близка .

Минимум дисперсии обеспечи­вается в том случае, если является регрессией на (отсюда и название метода), то есть, если вектор минимизирует сумму квадратов разностей величин и , , где и – элементы соответствующих выборок;

– объем каждой из выбо­рок. Компоненты вектора параметров находятся известными способами про­стой (если – скаляр) или множественной ( – вектор) регрессии. Если вектор параметров и

(3.1.6)

вычисляют с помощью одной и той же выборки, то является смещенной оценкой для из-за наличия корреля­ции. Смещение можно практически исключить, если разделить выборку на несколько групп (в простейшем слу­чае –на две). Для каждой -й группы отдельно вычисляют вектор парамет­ров и с использованием сред­него значения:

, (3.1.7)

где D – число групп.

Внутри каждой группы величины и независимы, a – несмещенные оценки. Искомое выборочное среднее определяется осреднением по­лученных частных оценок:

. (3.1.8)

Дисперсия величины опре­деленная таким способом, будет несколько выше истинного значения вследствие остаточной коррелированности между группами данных, но ниже, чем .

Метод компенсации. Сущность метода компенсации заключается в вычислении как среднего двух оценок и , имеющих сильную отрицательную корреляцию. Дисперсия оценки имеет вид

. (3.1.9)

Вследствие отрицательной корреля­ции эта величина существенно меньше, чем при использовании независимых оценок и .

Оценки и получают по отдель­ным выборочным подпространствам

, которые в простейшем случае связаны между собой следую­щим образом:

(3.1.10)

где – -мерный единичный вектор.

Возможны и другие способы формирования пространств и . Единственным требованием к ним является обеспечение отрицательной (по возможности, сильной) корреляции между оценками и . В большинстве практически важных случаев дисперсия оценки при использовании метода компенсации уменьшается в 2–10 раз что делает его одним из наиболее эффективных МПД.

Широко применяется также метод испытаний с дополняющей переменной [4], вводимой на таким образом, чтобы корреляция между ней и оце­ниваемой переменной была близка к .

Преимущества пассивных методов понижения дисперсии по сравнению с активными методами – возможность их применения уже после того, как выборка значений сформирована.

Эти методы осуществляются в два этапа: сначала формируют выбороч­ное пространство и выборку, а затем вычисляют оценки выборочного сред­него. Эти этапы формально независимы, за исключением того, что при формировании пространства необходимо предусмотреть включение в него зна­чений, позволяющих вычислять вспо­могательные переменные или формировать взаимокомпенсирующие выбо­рочные подпространства и .

Важным достоинством пассивных ме­тодов оценивания является возможность их применения без существен­ных изменений для любых статистических или имитационных моделей.