2 Характеристики скорректированной системы
Переходная функция системы изображена на рис.5.
Рис. 5. Переходная функция системы
В соответствии с графиком перерегулирование равно 1,45%, время нарастания - 1,59с, длительность переходного процесса – 5,58с, что удовлетворяет заданным параметрам качества.
Для определения эквивалентной передаточной функции (ПФ) разомкнутой скорректированной САУ воспользуемся простейшими преобразованиями. Ход этих преобразований изображен на рис. 6.
Рис. 6. Ход преобразований по упрощению системы
Таким образом, передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид (1).
(1)
Для этой же цели в MATLAB используется функция linmod [3], которая имеет следующие параметры:
‘sys’ – имя Simulink системы, из которой должна быть извлечена линейная модель;
x и u – начальный и конечный вектора соответственно. По умолчанию – 0;
Ts – постоянная времени для дискретной линеаризованной модели.
В зависимости от вида используемых параметров функция linmod может выдавать различные характеристики системы. В виде [num,den]=linmod('Kurs1') выдает передаточную функцию системы.
Путем несложных математических вычислений получаем:
(2)
Для определения запасов устойчивости разомкнутой САУ необходимо построить АЧХ и ФЧХ или АФХ (рис. 6). В Simulink это делается с помощью LTI Viewer.
Рис. 6. АЧХ, ФЧХ и АФХ разомкнутой системы
В соответствии с графиками запас устойчивости по фазе составляет 73,1º, запас устойчивости по амплитуде составляет 33,2дБ.
3 Модель системы в пространстве состояний
Система в пространстве состояний описывается уравнениями [5]:
(3),
где А – матрица входа, В – матрица управления, С – матрица выхода, D – матрица обхода.
Как известно, любой передаточной функции можно поставить в соответствие дифференциальное уравнение вида:
(4).
Выбор переменных состояния в принципе произволен и определяется зачастую исключительно удобством вычислений, поэтому введем следующие обозначения:
(5),
где i изменяется до n-1, тогда получим следующие уравнения
(6)
Из системы 6 получим матрицы для описания системы в пространстве состояний.
Для получения этих матриц в MATLAB используется функция tf2ss [3], которая записывается в следующем виде:
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
Результат:
(7)
4. Исследование системы на управляемость и наблюдаемость
Любая САУ должна обладать свойствами управляемости и наблюдаемости.
Управляемость [5]– это возможность приведения системы в заданное состояние с помощью управляющих воздействий, то есть возможность целенаправленного изменения переменных состояния с помощью управления.
По Калману система
называется вполне управляемой, если
для любых моментов времени t1
и t0,
где
и любых значений состоянийx0
и x1
существует управление U(t),
приводящее начальное состояние x(t0)=x0
в конечное состояние x(t1)=x1.
По теореме Калмана, линейная система называется вполне управляемой тогда и только тогда, когда матрица управляемости вида:
(8)
- имеет ранг равный n
(9).
При помощи следующих вычислений в Matlab
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
F1=A*B
F2=(A^2)*B
F3=(A^3)*B
F4=(A^4)*B
F5=(A^5)*B
F6=(A^6)*B
AN=[B F1 F2 F3 F4 F5]
ans1=det(AN)
ans4=rank(AN)
получили определитель матрицы управляемости не равен 0, ранг – 4. Таким образом, система не является полностью управляемой. Аналогичные результаты получаем при помощи функции ctrb(A,B), которая строит матрицу управляемости системы.
Наблюдаемость [5]– это возможность определения переменных состояния по результатам измерения выходных переменных.
По Калману, система
называется наблюдаемой в момент времени
t0,
если систему можно однозначно определить
в данный момент времени по данным
измерений Y(t)
на конечном интервале времени
.
По теореме Калмана, для того, чтобы линейная стационарная система была постоянно наблюдаемой необходимо и достаточно, чтобы матрица наблюдаемости вида
(10)
имела ранг n
.
(11).
Проведя в Matlab следующие вычисления
F1=A'*C'
F2=(A^2)*B
F2=((A')^2)*C'
F3=((A')^3)*C'
F4=((A')^4)*C'
F5=((A')^5)*C'
AN=[C' F1 F2 F3 F4 F5]
ans1=det(AN)
ans4=rank(AN)
получим определитель матрицы наблюдаемости не равен 0, а ранг равен 7, значит система является полностью наблюдаемой.