[Править]Логика второго порядка
1. Логика 2-го порядка, основные отличия ее от логики 1-го порядка. Определение предиката равенства. Формула, выражающая конечность. Аксиоматизация арифметики. Неперечислимость логики второго порядка.
[Править]Неклассические логики
1. Интуиционистская логика высказываний. Конструктивное понимание логических связок, семантика Крипке.
Аксиомы интуиционистского исчисления высказываний. Теорема о корректности и полноте интуиционистского исчисления высказываний относительно семантики Крипке.
Доказательство невыводимости законов исключенного третьего и снятия двойного отрицания в интуиционистском исчислении высказываний. Свойство дизъюнктивности для интуиционистской логики. Невозможность задания интуиционистских связок истинностными таблицами с конечным числом значений.
2. Многозначная логика.
3. Модальная логика. Язык модальной логики. Примеры модальностей в естественном языке. Системы аксиом для логик K, K4, S4, S5, GL, Grz. Семантика Крипке для модального языка. Классы шкал Крипке, соответствующие основным аксиомам логик K, K4, S4, S5, Grz. Полнота K, K4, S4, S5, Grz относительно семантики Крипке. Вложение интуиционистской логики высказываний в S4.
4. Временные операторы, языки временных логик. Логика данной шкалы времени. Примеры временных логик: логики линейного времени, логики ветвящегося времени. Перевод формул языка пропозициональной временной логики на языки классической логики I-го и II-го порядка. Пример неэлементарной временной логики. Разрешимость линейных временных логик. Временные логики и верификация программ.
Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями[1]. Высказывания могут быть истинными, ложными или содержащими истину и ложь в разных соотношениях.
Определение
Базовыми
элементами, которыми оперирует алгебра
логики, являются высказывания.
Высказывания строятся над множеством {B, 
, 
, 
,
0, 1}, где B — непустое множество, над
элементами которого определены
три операции:
отрицание (унарная операция),
конъюнкция (бинарная),
дизъюнкция (бинарная),
а также константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.
Дизъю́нкт — пропозициональная
формула,
являющаяся дизъюнкцией одного
или более литералов (например 
). Конъюнкт — пропозициональная
формула,
являющаяся конъюнкцией одного
или более литералов (например 
).
Аксиомы
, 
Логические операции
Простейшим и наиболее широко применяемым примером такой алгебраической системы является множество B, состоящее всего из двух элементов:
B = { Ложь, Истина }
Как правило, в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нулём, а Истина — с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании. Легко показать, что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений и все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.
Опираясь
на этот математический инструментарий, логика
высказываний изучает высказывания и предикаты.
Также вводятся дополнительные операции,
такие как эквивалентность 
(«тогда
и только тогда, когда»),
импликация 
(«следовательно»),
сложение по модулю два 
(«исключающее
или»), штрих
Шеффера 
, стрелка
Пирса 
и
другие.
Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция приобретает смысл вычитания из единицы; — немодульного сложения; & — умножения; — равенства; — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR); — непревосходства суммы над 1 (то есть A B = (A + B) <= 1).
Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено») и др.