- •1. Вектордың анықтамасы. Тең векторлардың анықтамасы.
- •2. Векторларды қосу амалының анықтамасы. Векторларды қосу амалының қасиеттерін дәлелдеу.
- •3. Векторды санға көбейту амалының анықтамасы. Векторды санға көбейту амалының қасиеттерін дәлелдеу.
- •4. Сызықты тәуелді векторлар жүйесінің анықтамасы. Коллениар және компланар векторлардың сызықтық тәуелділігін көрсету.
- •5. Сызықты тәуелді векторлар жүйесінің қасиеттерін дәлелдеу.
- •6. Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесінің анықтамасы. Мысалдар. Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесінің қасиеттері.
- •11.Кеңістіктегі акж
- •12. Кеңістіктегі акж (декарттық тікбұрышты координаттар жүйесі )(рис. 4.4) (Афиндик)
- •19.Векторлардың аралас көбейтіндісінің анықтамасы және геометриялық мағынасы.
- •20. Векторлардың аралас көбейтіндісінің қасиеттері мен есептеу формулалары:
- •21. Жазықтықтағы түзудің параметрлік,канондық,екі нүкте арқылы өтетін түзудің, кесінділермен берілген түзудің теңдеулерін қорытып шығару
- •28.Жазықтықтың параметрлік және үш нүкте арқылы өтетін теңдеуін қорытып шығару.
- •29.Жазықтықтың жалпы теңдеуін қорытып шығару.
- •30. Екі жазықтықтың өзара орналасуы туралы теореманы дәлелдеу.
- •34. Кеңістіктегі нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықтың есептеу формуласын қорытып шығару.
- •35. Кеңістіктегі екі түзудің өзара орналасуы.
- •36. Кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы.
- •37. Кеңістіктегі түзумен жазықтықтың арасындағы бұрыштың синусын есептеу формуласын қорытып шығару.
- •38. Кеңістікте нүктеден түзуге дейінгі арақашықтықтың есептеу формуласын қорытып шығару.
- •46, Жазықтықта тікбұрышты координаталар жүйесінде бір базистен екінші базиске көшу формулаларын қорытып шығару.
- •47,Эллипс (канондық теңдеуін қорыту, фокалдық радиустарды есептеу, эксцентриситет, параметрлік теңдеу).
- •47,Эллипс
- •48,Гипербола
- •46,Жазықтықта тікбұрышты координаталар жүйесінде бір базистен екінші базиске көшу формулаларын қорытып шығару.
- •1 Сурет 1
- •1 Сурет 2
- •52. Екінші ретті сызықтардың типтерге бөлініуі
- •53. Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуінің инварианттары туралы теорема.
- •Екінші ретті сызықтардың центрі туралы теоремаларды дәлелдеу. Центрі бар және центрі жоқ қисықтар.
- •2. Гиперболалық параболоидтың канондық теңдеуі. Гиперболалық параболоидтың қималары.
- •64. Целиндтлік бет және оның қималары
- •65. Эллипстік параболоидтың канондық теңдеуін қорытып шығару. Эллипстік параболоидтың қималары.
- •67. Гиперболалық параболоидтың түзу сызықты жасаушалары.
- •68. Екінші ретті беттердің жалпы теңдеуі. Екінші ретті беттердің типтерге бөлінуі.
- •69. Екінші ретті беттердің жалпы теңдеуін 17 канондық теңдеуге келтіру.
- •70. Екінші ретті беттердің жалпы теңдеуінің инварианттары
6. Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесінің анықтамасы. Мысалдар. Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесінің қасиеттері.
Анықтама: Егер келесі теңдік орындалу үшін α1 а1+α2 а2+,,,+αn аn=θ α1, α2,,,,,, αn=0 шарты қажет болса, онда {а1 а2,,,, аn} сызық тәуелсіз деп аталады.
Қасиеті
1. Егер сызықты тәуелсіз векторлар жүйесіне бірнеші вектор біріктірсек, онда жаңа жүйеде сызықты тәуелсіз болады
Дәлелдеу: (*) {а1 а2,,,, аn+m}- сызықты тәуелcіз жүйе.
(**){а1 а2 ,, аn}- сызықты тәуелcіз. (*)-сызықты тәуелсіз болғандықтан α1 а1+α2 а2+,,,+αn аn+ αn+1 аn+1+,,,+ αn+m аn+m =θ орындалу үшін келесі шарт керек α1= α2=…= αn= αn+1=…= αn+m=θ, {а1 а2 ,, аn}- сызықты тәуелcіз.
7. Параллель н/е бір түзудің бойында жатқан векторларды коллиниар векторлар д.а.
a̅, b̅ векторлары коллиниар болады сонда ж/е сонда ғана егер олардың сәйкес координаттары пропорционал болса.
а̅ колл b̅ <=>а1/ b1= а2/ b2= а3/ b3
Екі вектор коллиниар болады сонда және тек сонда ғана егер, табылады α саны, бірінші вектор екінші вектор арқылы сызықтық өрнектелетіндей.
a̅, b̅=0̅, a̅ колл. b̅ <=> табылады: α: a̅= αb̅
Дәлелдеу: қажеттілік: a̅ колл. b̅ болсын, олар парралель не бір түзудің бойында жатады.
a̅ және b̅ векторларын бір нүктеге көшірейік(суретін саламыз)
Нөльдік векторды санға көбейту амалы бойынша
Табылады: α: a̅=αb̅
α1≠ α2, a̅= α1b̅
-
a̅=α2b̅
0̅ = (α1 – α2) b̅ => α1=α2
жеткіліктілік: табылады α: a̅=αb̅
Векторды санға көбейту амалының анықтамасы бойынша a̅ коллиниар b̅
8. Параллель н/е бір жазықтықтың бойында жатқан векторларды комплонар векторлар д.а.
Үш вектор комплонар болады сонда және тек сонда ғана, егер олардың ішінде біреуі қалған екеуі арқылы сызықтық өрнектелсе
Қажеттілік: a̅, b̅, с̅ комплонар болсын. a̅, b̅, с̅ векторларын бір нүктеге көшіреміз.(суретін саламыз)
a̅, b̅ векторларын сәйкес α, β нақты сандарға көбейтеміз: a̅α= b̅β векторда құрылған парралелограмның с̅ векторы диагоналі болып табылу керек. с̅ нүктесінің ұшы арқылы a̅ векторына параллель түзу жүргізейік және b̅ векторына параллель түзу жүргізейік. a̅, b̅ векторын сол түзулерге дейін созайық.
Параллелограм ережесі бойынша с̅=А̅С=А̅В+А̅Д
a̅ колл А̅В, b̅ колл А̅Д коллиниар болу белгісі бойынша.
А̅В=αa̅, А̅Д=βb̅ онда с̅= αa̅+βb̅
Жеткіліктілік: с̅= αa̅+βb̅ Демек a̅, b̅, с̅ - комплонар
αa̅, βb̅, с̅ - параллелограмда жатыр және бір жазықтықта жатыр, онда вектор комплонар
9. Х жиыны бір түзу бойындағы, бір жазықтықтағы, бір кеңістіктегі векторлар жиыны болсын.
Х-тегі реттелген е̅1, е̅2... е̅k векторлар жүйесін Х жиынының базисі деп атаймыз егер ол жүйе (е̅1, е̅2... е̅k(вектор белгісі бар) ) сызықтық тәуелсіз болса ж/е кез келген Х жиынының а̅ векторы үшін а̅ ϵ Х табылады (альфа)α1, α2... αk ϵ R: (*)[ a̅= α1 е̅1+ α2 е̅2+…+ αk е̅k ]
(*)дағы α1, α2... αk а̅ коэффиценттері, е̅1, е̅2... е̅k базисіндегі координаттары д.а ж/ә келесі түрде белгіленеді а̅=( α1, α2... αk)
(*)дағы а̅ вектордың е̅1, е̅2... е̅k базисіндегі жіктеуі д.а.
Т1: L түзуінде кез келген нөлдік емес вектор базис құрайды, k=1
Дәлелдеу: Коллиниар белгісі бойнша ж/е сызықтық тәуелділіктің анықтамасы б-ша
Т2: π жазықтығында кез келген коллиниар емес екі вектор базис құрайды, k=2
Дәлелдеу: векторлардың комплонар болу белгісінен шығады
Т3: К кеңістігінде кез келген үш комплонар емес векторлар базис құрайды, k=3
Дәлелдеу: Сызықық тәуелділіктің 3-геометриялық қасиеті б-ша шығады.
a̅, b̅, c̅ комп емес => сыз. тәуелсіз, ол болуының 1-шарты
Т4: Кез келген вектодың берілген базисте координаталары бір мәнді анықталады.
Дәлелдеу: Кеңістік үшін:
Кеңістікте, е̅1, е̅2, е̅3 векторлар жүйесі базис кез келген a̅ векторын қарастырамыз
a̅= α1е̅1+ α2е̅2+…+ αkе̅k 0̅ = (α1 – β1) е̅1 + (α2 – β2) е̅2 + (α3 – β3) е̅3
- { => 0̅=(0; 0; 0)
b̅= β1е̅1+ β2е̅2+…+ βkе̅k α1 – β1=0
α1 – β1= α2 – β2= α3 – β3=0 => α1= β1 α2= β2 α3= β3
Т5: Екі вектордың қосындысының координаталары сол вектордың координаталарының қосындысына тең болады. Вектордың санға көбейтіндісінің координаталары сол санның вектордың сәйкес координаталарының көбейтіндісіне сәйкес болады.
a̅=( α1, α2, α3), b̅=( β1, β 2, β 3), λ=R [ a̅+ b̅=(α1+ β1; α2+ β2; α3+ β3) λa̅=(λα1; λα2; λα3) ]
Дәлелдеу: е̅1, е̅2, е̅3 a̅= α1 е̅1+ α2 е̅2+ α3е̅3
+{
b̅= β1е̅1+ β2е̅2+ β3е̅3
a̅+ b̅=(α1 + β1) е̅1 + (α2 + β2) е̅2 + (α3 + β3) е̅3
Т4 бойынша α1 + β1, α2 + β2, α3+ β3 a̅+ b̅ векторының координаталары болады
λa̅= λα1е̅1 + λα2е̅2 + λα3е̅3, Т4 бойынша λa̅=(λα1; λα2; λα3)
10.тузудегі,жазыктыктагы,кеңістіктегі базис
Аныктама: х жиыны 1тузу боиындагы 1кеңістігі 1жазыктыгы векторлар жиыны болсын.е1, е2….. ek/ векторлар жуйесін х жинының Базис д.a. т/a: L тузуінде кез келген нолдік емес вектор базис құрайды. д/у:қажетілік. векторын 1нуктеге кошірейік векторды санға көбейту фор/ы б/ша нолдік вектор кез келген векторға коллинеар. . д/у: жеткіліктілік: т/a: жазықтығында кез келген колленеар емес 2 вектор базис курайды. т/a: к кеңістігіндегі кез келген 3 компланар емес векторлар базис қурайды. д/у: сызықтық тәуелділіктің 3 қасиеті б/ша шығады.кеңістіктегі кез келген 4вектор сыз-қ тәуелді жуйе құрайды. компланар емес сыз/қ тәуелсіз емес. т/a: кез келген вектордың берілген базисте координаталары аныкталады. д/у: кеңістік ушін ,базис кез келген аламыз. . .→ . . . .