52. Екінші ретті сызықтардың типтерге бөлініуі

Егер F( x,y)=αx+βy+γ өрнегінің α мен β кем дегенде біреуі нөлден өзге болса, онда осы өрнеті дәрәжесі бірге тең айнымалылары х,у болатын көпмүше дейміз. 23.1-теоремасы (Жазықтықтағы кез келген түзу екі айнымалылы, дәрежесі бірге тең алгебралық теңдеу арқылы анықталады. Керісінше, екі айнымалылы кез келген дәрежесі бірге тең алгебралық теңдеудің шешімдер жиыны жазықтықтағы түзумен сипатталады.) бойынша, F( x,y)=0 теңдеуінің шешімдер жиыны жазықтықта орналасқан түзумен сипатталады.

Егер G( x,y)=α₁х²+α₂ху+ α₃y²+ β₁x+ β₂y+γ өрнегінің α₁, α₂, α₃ кем дегенде біреуі нөлге тең емес болса, онда G-ны дәрежесі екіге тең, айнымалылары х,у болатын көпмүше, ал ( x,y) координаталары G(x,y)=0 теңдеуін қанағаттандыратын жазықтықтағы нүктелер жиынын 2-ретті алгебралық сызық деп атайды. Алгебралық сызықтардың 9 түрі бар. Ішінде парабола, эллипс және гипербола секілділер.

Парабола

Бір ОХУ тікбұрышты Декарт координаталар жүйесінде

К₁: у²=2рх, р>0, (1),

Теңдеуімен анықталған 2-ретті алгебралық сызық парабола деп аталады. (1) теңдеу параболаның канондық теңдеуі деп аталады. ОХ түзуі параболаның симметрия өсі болады, өйткені:

β²=2рα (-β)²=2рα

яғни М₁(α,β)ͼ К₁ М₂(α,-β)ͼ К₁

ал М₁ мен М₂ нүктелер ОХ осіне қарағанда симметриалы болады. Параболаның бір симметрия өсі бар, ол ОХ өсі болады да параболаның өсі деп аталады. ОХ, ОУ остері-параболаның канондық остері, р коэффиценті- фокальді параметрі, F(p̸2;0) нүктесі- фокусы, ал х=-(р/2) түзуі- параболаның директрисасы деп аталады.

Эллипс

Бір ОХУ тікбұрышты Декарт координаталар жүйесінде

К₂: х²/а² + у²/b² =1 a ≥b≥0, (2)

Теңдеуімен анықталған 2-ретті алгебралық сызық эллипс деп аталады. (2) теңдеу эллипстың канондық теңдеуі деп аталады. а=b тең болған жағдайда К₃: х²+у²=а² теңдеуіне түрленеді. Демек шеңбер эллипстің дербес жағдайы болып табылады. Эллипс мүшелері

• — үлкен жарты осі;

• — кіші жарты осі;

• — фокальдық радиус (фокустары арасындағы жартылай қашықтық);

• — фокальдық параметрі;

• — перифокустық қашықтық (эллипстегі нүктеден фокусқа дейінгі ең жақын қашықтық);

• — апофокустық қашықтық (эллипстегі нүктеден фокусқа дейінгі ең ұзын қашықтық);

.

Гипербола

Бір ОХУ тікбұрышты Декарт координаталар жүйесінде

К₃: х²/а² - у²/b² =1 a>0, b>0, (3)

Теңдеуімен анықталған 2-ретті алгебралық сызық гипербола деп аталады. (3) теңдеу гиперболаның канондық теңдеуі деп аталады. a=b дербес жағдайда К₃ гиперболасы тең бүйірлі гипербола деп аталады.

Егер ОХУ координаталар жүйесін полюс айналасында -π/4 бұрышқа бұрсақ, онда бұрылған OUV жүйесінің өстері

OU: х+ у=0 , OV:х-у=0 теңдеулерімен анықталады. Ендеше, М(х,у) нүктесінің жаңа координаталары

u=δ(M,OV)=(x-y)/ түбір астындағы 2 u=δ(M,OU)=(x+y)/ түбір астындағы 2

формулалар арқылы табылып, х²/а² - у²/a² =(x-y)(x+y) /a² =2uv/a² болады. Демек, OUV тікбұрышты Декарт координаталар жүйесінде теңбүйірлі гиперболаның теңдеуі:

К₄: uv=a²/2

• саны— гиперболаның нақты жарты осі;

• саны— гиперболаның жорамал жарты осі;

• =түбір астында(a²+b²)- cызықтық эксцентриситеті;

• e=c/a= түбір астындағы(1+b²/a²) саны- гиперболаның сандық эксцентритеті;

• (-а,0),(а,0)- гипербола төбелері;

• F₁(c,0), F₂(-c,0)-гиперболаның оң және сол фокустары;

• D₁: x=a/e, D₂: x=-a/e түзулері-гиперболаның оң және сол директрисалары;

• А₁: x/a+y/b=0 ,A₂: x/a-y/b=0 түзулері – гиперболаның асимптоталары.