Решение

Количество переменных n=5, а количество уравнений m=3, т.е. n-m=2. Воспользуемся изложенным выше способом решения ЗЛП. Из ограничений видно, что в качестве свободных переменных можно взять x₁ и x₂. Тогда базисные переменные x₃, x₄, x₅ выражаются через свободные следующим образом:

x₃ = 10 – 2x₁ – x₂

x₄ = 6 + 2x₁ – 3x₂

x₅ = 2x₁ + 4x₂ – 8

Учитывая условия неотрицательности переменных x₁, …, x₅, получим систему неравенств, определяющую ОДР задачи

2x₁ + x₂  10

-2x₁ + 3x₂  6

2x₁ + 4x₂  8

x₁  0, x₂  0

Выразим целевую функцию через свободные переменные x₁ и x₂ :

z =-16x₁-x₂+x₃+5x₄+5x₅=-16x₁-x₂+(10–2x₁–x₂)+5(6+ 2x₁ – 3x₂)+5(2x₁ + 4x₂ – 8)

Итак, мы получили следующую ЗЛП в стандартной форме:

z = 2x₁ + x₂  max

2x₁ + x₂  10 (а)

-2x₁ + 3x₂  6 (б)

2x₁ + 4x₂  8 (в)

x₁  0, x₂  0

Найдем решение этой задачи используя ее геометрическую интерпретацию:

(б)

(в)

Рис.10 Геометрическое решение ЗЛП

Этим решением является x₁^*=3, x₂^*=4, доставляющие максимум целевой функции z^*=18. Подставляя значения x₁^*, x₂^* в выражения для базисных переменных x₃, x₄, x₅ найдем x₃^*= 0, x₄^*= 0 и x₅^*= 14. Итак, решением исходной ЗЛП является x₁=3, x₂=4, x₃=0, x₄=0, x₅=14 и при этом целевая функция достигает своего максимума z=18.