1.3.4 Метод золотого сечения

Для того чтобы уменьшить отрезок неопределённости [], нам необходимо вычислить значение целевой функции, по крайней мере, в двух точках на отрезке [].

Врезультате этих двух экспериментов отрезок неопределённости сузится до отрезка []или []. Так как у нас нет никаких оснований предпочесть один из этих вариантов, то точки и должны быть симметричны относительно середины отрезка []. В этом случае длины отрезков [] и [] будут равны. Таким образом, остаётся вопрос как выбрать точку .

В методе золотого сечения точка выбирается из соображения, что должно выполняться соотношение:

т.е. точка делит отрезок[] по правилу «золотого сечения», где - есть «золотое отношение». Точкаопределяется как точка симметричная котносительно середины отрезка.

В результате экспериментов у нас получается отрезок неопределённости [], содержащий точку , или отрезок неопределённости [], содержащий точку . Оказывается, что остающаяся точка на суженном отрезке неопределённости делит его вновь по правилу«золотого сечения». Следовательно, чтобы, в свою очередь, уменьшить новый отрезок неопределённости, нам не достаёт одного эксперимента, а именно, вычисления целевой функции в точке, симметричной к оставшейся точке относительно середины этого нового отрезка. Всё продемонстрировано на рисунке,

а)

б)

где буквы со штрихами обозначают новый отрезок неопределённости. Вариант а) соответствует случаю, если новым отрезком неопределённости будет [], а вариант б) – отрезку [].

В приводимой ниже схеме алгоритма остающиеся отрезки неопределённости переименовываются каждый раз как [], а точки, в которых проводятся эксперименты на этом отрезке, обозначается черези, причём. Кроме того,иимеют следующие значения:и.

Схема алгоритма

Шаг1. Задаются и. Вычисляют.

Шаг2. а) Если , то полагаюти вычисляют.

б) Если , то полагаюти вычисляют.

Шаг3. Если , то переходят к шагу 2. Иначе если, то полагаютиесли, то полагаюти

Закончить поиск.

После каждой итерации длина отрезка неопределённости уменьшается в раз. Так как первая итерация начинается после двух экспериментов, то послеэкспериментов длина отрезка неопределённости будет

.

4. Метод чисел Фибоначчи

Этот метод применяется, когда число экспериментов заранее задано. Метод чисел Фибоначчи, также как и метод золотого сечения относится к симметричным методам, т.е. точки, в которых выполняются два эксперимента, на основе которых происходит уменьшение отрезка неопределённости, расположены симметрично относительно середины отрезка. Вот только выбор точкипроисходит на основе других соотношений. Для этого используются числа Фибоначчи:, гдеи.

Точка определяется из соотношения:

т.е. . Точкаделитна две неравные части. Отношение малого отрезка к большему равно. Точкаопределяется как точка, симметричная котносительно середины отрезка. Поэтому. При этом будет выполняться условие.

В результате экспериментов в точках иу нас получится отрезок неопределённости, содержащий точку, или отрезок неопределённости, содержащий точку. Остающаяся точка делит новый отрезок неопределённости на две неравные части в отношении:

. То есть в методе Фибоначчи остающаяся точка делит отрезок на две неравные части в пропорциях определяемых числами Фибоначчи. Так нак-ом шаге это отношение равноа длины отрезков равны:и. Всё это показано на рисунке:

а)

б)

Для того чтобы в свою очередь уменьшить получившийся отрезок неопределённости, надо определить симметричную точку относительно середины отрезка и произвести эксперимент в ней. Этот процесс продолжается, пока не будет проведено экспериментов.

Схема алгоритма

Шаг 1. Задаются Вычисляются числа Фибоначчи. Определяется:

Шаг 2. а) Если , то полагаюти вычисляют.

б) Если , то полагаюти вычисляют.

Повторить шаг 2 раза.

Шаг 3. Если , то полагаюти. Если, то полагаюти.

Закончить поиск.

Длина отрезка неопределённости в методе Фибоначчи .