3.5. Вычислительная схема дп для обратного хода

Несмотря на единообразие моделей, любая вычислительная схема в ДП строится в зависимости от конкретной задачи. Однако при этом можно отметить некоторые общие черты такого построения:

1. Решение уравнений (4) проводят последовательно, начиная с уравнения (3), т.е. обратным ходом. Этот этап называют условной оптимизацией.

2. В результате последовательного решения n частных задач на условный оптимум определяют две последовательности функций: условные оптимумы суммарного показателя эффективности на k-м шаге {Z_k(S_k–1)} и соответствующие им условные оптимальные управления {u_k(S_k–1)}, k = n, n – 1,…, 1. Эти последовательности функ-ций в дискретных задачах получают в табличной форме.

3. После выполнения I этапа приступают ко II этапу – безусловной оптимизации.

Если задано единственное начальное состояние S₀, т.е. то оптимум целевой функции определяется непосредственно: opt Z = Z₁ (S₀), а затем искомое безусловное оптимальное управление определяется по цепочке: S₀  u₁  S₁  u₂  …  u_n  S_n. В этой цепочке переход от состояния к управлению (S_k–1  u_k) проводится по последовательности {u_k(S_k–1)}, а переход от управления к состоянию (u_k  S_k) – с помощью уравнения состояний (1).

Если же задано множество начальных состояний {S₀}, т.е. то дополнительно решают еще одну задачу на оптимум:

откуда находится конкретное оптимальное S₀ и оптимальное управление u₀, а затем, как и раньше, по цепочке – безусловное оптимальное управление.

3.6. Особенности вычислительной схемы дп для прямого хода

Особенности вычислительной схемы ДП для прямого хода следуют из особенностей модели ДП для прямого хода. Уточним их.

Уравнение состояний удобно записать в виде:

(тип 1')

Оно может быть получено решением уравнения (1) относительно S_k–1. Иногда уравнение (1') удобно записать в виде:

Введем в рассмотрение показатель эффективности k-го шага f_k (S_k, u_k). Тогда суммарный показатель (целевая функция)

(тип 2')

Введя условные оптимумы показателя эффективности за первые k шагов и условные оптимальные управления на k-м шаге u_k(S_k), получим функциональные уравнения Беллмана в следующей форме:

если (тип 3')

(тип 4')

В результате решений этих уравнений получим также две последовательности:

{Z_k(S_k)} – условных оптимумов и

{u_k(S_k)} – условных управлений (k = 1, 2,…, n).

Этап безусловной оптимизации отличается от обратного хода лишь обратной направленностью цепочки:

S_n  u_n  S_n–1  u_n–1  … u₁  S₀.

Переходы (S_k  u_k) и (u_k  S_k–1) определяется аналогично. При этом

если

или opt Z = Z_n(S_n), если

3.7. Основные достоинства метода дп

1. Идея и метод ДП наиболее приспособлены к дискретным задачам, каковыми являются задачи из экономики.

2. Метод ДП применим при любом способе задания F_ц и любом допустимом множестве состояний и управлений. Этого преимущества лишены классические методы оптимизации и другие вычислительные методы математического программирования.

3. Вычислительные схемы метода ДП в дискретном случае связаны с перебором оптимальных значений показателя эффективности и управления на k-м шаге для всех возможных значений переменной состояния, но объем расчетов по этому методу значительно меньше, чем при прямом переборе вариантов. Это связано с тем, что на этапе условной оптимизации неудачные варианты сразу отбрасываются, а сохраняются лишь условно оптимальные на данном шаге.

4. Метод ДП дает возможность анализа чувствительности к изменению исходных данных S_k и n. Фактически здесь решается не одна задача, а множество однотипных задач для различных состояний S_k и различных k (1  k  n) на каждом шаге. Поэтому при изменении исходных данных можно не решать задачу заново, а сделать лишь несложные добавления к уже выполненным расчетам, т.е. продолжить уже решенную задачу за счет увеличения числа шагов n или числа значений S_k.