2.4. Алгоритм решения задачи с помощью произвольного дерева маршрутов

0. Исходные данные: орграф [A, R] в графическом представлении с весами v(a_i, a_j) на дугах.

1. Определяем начальную и конечную вершины a₀ и a_n.

2. Строим произвольное дерево маршрутов с корнем в a₀ (прямым ходом):

а) организуем вектор вершин М и вектор дуг Д, начальную вершину a₀ заносим в М;

б) исходящие дуги (а₀, а_к) заносим в Д, а вершины а_k – в М;

в) для каждого а_k находим все исходящие дуги (а_k, а_е); если а_е М, то заносим ее в М, а дугу (а_k, а_е) – в Д; иначе переходим к новой а_е;

г) проверка: если М содержит не все вершины из А, то выбираем новую а_k и переходим к (в); иначе – КОНЕЦ.

3. Индексируем все вершины а_k построенного дерева, образуя вектор индексов I.

4. Строим opt дерево, улучшая индексы вершин:

а) дополнительно к Д организуем вектор дуг антидерева – АД;

б) включаем в дерево очередную дугу (a_i, a_j) антидерева и проверяем: если индекс a_j улучшился, то дугу (a_i, a_j) заносим в вектор Д вместо дуги (а_k, а_j), которую заносим в АД, и переходим к (3). Иначе – переходим к следующей дуге антидерева. И так далее, пока индекс хотя бы одной вершины можно улучшить.

В результате получаем:

1) индекс а_n есть длина opt пути: I(a_n) = opt |S(а₀, а_n)|;

2) путь S(а₀, а_n) однозначно определяется на построенном дереве обратным ходом.

2.5. О порядковой функции

При таком способе действий некоторые дуги приходится просматривать более одного раза. Этого можно избежать, если просматривать дуги в определенном порядке, т.е. упорядочить их. Такой порядок можно задать, введя порядковую функцию на множестве А.

Определение. Порядковой функцией на орграфе без контуров называется функция, которая разбивает множество вершин графа на упорядоченные подмножества Е_i по правилу: вершина а_i  Е_i, если она достижима из а₀ не более чем за i шагов.

Множество Е_i обычно называют уровнями.

Для предыдущего примера порядковую функцию можно задать следующим образом (рис. 2.2).

6

Е ₀ = {1}

Е₁ = {2, 4}

Е

1

7

2

₂ = {6, 3}

Е ₃ = {5}

Е ₄ = {7}

3

4

5

Рис. 2.2

Упорядочив вершины по уровням, получим (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Свойства упорядоченного графа:

1) все дуги расположены в направлении от начальной вершины к конечной; следовательно, при просмотре дуг антидерева в указанном порядке (см. шаг 4 б) ни одна вершина не проходится дважды, поэтому при смене дуг индексы предыдущих вершин не меняются, а перебор равен числу дуг антидерева;

2) вершины одного уровня не связаны дугами; следовательно, порядок просмотра вершин одного уровня безразличен.

2.6. Общая теория индексного метода на матрице орграфа

Соберем все полученные результаты воедино и обобщим их на матрице орграфа.

1. Лемма 1. В любом орграфе без контуров всякое множество дуг, взятых по одной из каждого столбца (строки) его матрицы, образует дерево с корнем в начальной (конечной) вершине.

2. Принцип оптимальности. Всякий подпуть оптимального пути на графе без контуров есть оптимальный путь. Не работает, когда проявляется последействие.

3. Определение 1. Opt деревом орграфа без контуров называется дерево, индексы всех вершин которого оптимальны. Поэтому всякий путь в opt дереве является оптимальным. Отсюда следует, что для opt дерева справедлив принцип оптимальности.

4. Следствие 1. Лемма 1 позволяет по матрице орграфа перечислить все его деревья, содержащие путь от начальной вершины до конечной (или от конечной до начальной), и выбрать среди них оптимальное, т.е. содержащее искомый оптимальный путь (полный перебор!).

5. Определение 2. Порядковой функцией на орграфе без контуров называется такая функция, которая разбивает множество вершин графа на упорядоченные подмножества Е_i по правилу: а_i  Е_i, если а_i достижима из а₀ не более чем за i шагов (или из а_n не более чем за (n – i) шагов). Порядковая функция строится для задания порядка при просмотре дуг антидерева.

Признак порядка на матрице орграфа: граф обладает порядковой функцией, если все значимые элементы его матрицы находятся над главной диагональю.

6. Лемма 2. Opt дерево для орграфа без контуров может быть построено непосредственно направленным перебором его входящих (исходящих) дуг последовательно по столбцам (или строкам) в соответствии с его порядковой функцией, начиная с корневой вершины, начальной или конечной, т.е. прямым или обратным ходом.

7. Следствие 2. Лемма 2 дает способ построения с минимальным перебором opt дерева, содержащего оптимальный путь от корневой вершины до любой другой в соответствии с принципом оптимальности.