3) (Положить )
Б. Метод подстановки. Ищем в
уравнении некоторое повторяющееся
выражение, которое обозначим новой
переменной, тем самым упрощая вид
уравнения. В некоторых случаях очевидно
что обозначить. Например, уравнение
легко решается с помощью подстановки
,
получаем
.
Или
.
Здесь можно сделать подстановку
.
Тогда
и т.д.
В более сложных случаях подстановка
видна лишь после преобразований.
Например, дано уравнение
.
Переписав его иначе, а именно
,
сразу увидим подстановку
.
Имеем
,
.
Осталось решить
и
.
В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать заранее.
Например:
Уравнение
сводится к биквадратному, если сделать
подстановку
.Симметрическое уравнение
(коэффициенты членов, равноотстоящих
от концов, равны) решается с помощью
подстановки
,
если
-
четное; если
-
нечетное, то уравнение имеет корень
.Уравнение вида
сводится к квадратному, если
и т.д.
Пример 3. Найти корни уравнения
.
Решение. Перепишем уравнение в
виде
,
т.е.
.
Обозначим
,
тогда
.
Поэтому
или
О т в е т:
.
З а д а ч и. Решить уравнения.
1)
2)
В. Метод подбора: при решении
уравнений высших степеней рациональные
корни уравнения
ищем в виде
,где
-делитель
,
-
делитель
,
и
взаимно просты,
.
Пример 4. Найти корни уравнения
.
Решение. Здесь
.
Поэтому, если данное уравнение имеет
рациональные корни, то их следует искать
среди делителей числа 6:
,
,
,
.
Проверкой убеждаемся, что
,
т.к.
.
Делим
на
.
Тогда
,
т.е. данное уравнение можно представить
в виде
.
Отсюда находим, что
- решение, найденное подбором,
- из уравнения
.
О т в е т:
,
.
З а д а ч и. Решить уравнения.
Г. Нестандартный подход. Общих формул нахождения корней алгебраических уравнений высоких степеней нет и поэтому об их решениях говорят как об искусстве решать пример нестандартно, придумать «свой метод», догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.
Пример 5. Решить уравнение:
.
Решение. Область определения
переменной
-
все действительные числа, кроме корней
знаменателей, т.е.
Разделим числитель и знаменатель дробей
на
:
,
обозначим
.
Получаем
,
т.е.
,
т.е.
,
т.е.
,
,
.
Следовательно,
или
О т в е т:
.
Пример 6. Решить уравнение:
.
Решение. Выделим полный квадрат,
прибавив и вычтя в левой части уравнения
:
,
т.е.
.
Пусть
,
тогда
,
,
.
Возвращаясь к старой переменной, получаем
или
О т в е т:
.
З а д а ч и. Решить уравнения.
3)
7. Уравнения, содержащие модуль.
При решении уравнений с модулем
используется определение модуля и метод
интервалов. Напомним, что
,
если
.
Пример 1. Решить уравнение
.
Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнение в каждом из полученных интервалов:
а) если
,
то
и уравнение переписывается так:
,
т.е.
,
;
б) если
,
то
,
,
и поэтому имеем
,
и т.к.
,
то в промежутке
корней нет;
в) если
,
то получаем
,
т.е.
,
;
наконец,
г) если
,
то
,
,
.
О т в е т:
,
.
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение.
а)
,
тогда
,
,
;
б)
,
тогда
,
,
- любое из
;
в)
,
тогда
,
,
.
О т в е т:
.
Пример 3. Найти корни уравнения
.
Решение. Возведя обе части
уравнения в квадрат, получим эквивалентное
уравнение
,
т.е.
,
т.е.
,
,
.
О т в е т:
,
.
Пример 4. решить уравнение
.
Решение. Это уравнение эквивалентно совокупности систем
и
Отсюда находим, что
,
.
О т в е т: , .
Пример 5. Указать все корни
уравнения
.
Решение. Это уравнение с параметром
а. Оно эквивалентно совокупности
систем
и
.
Находим, что
,
,
но должно выполняться условие
,
т.е.
.
Стало быть,
,
т.е.
и
,
т.е.
.
При
имеем
.
О т в е т: если
,
то
;
если
,
то
.
З а д а ч и. Решить уравнения.
3)
