- •Случайные события: испытания, вероятность, частота. Свойства частоты.
- •События, алгебра событий
- •Аксиоматическое определение вероятности.
- •Классическая вероятность.
- •5. Язык теории вероятности и теории множеств.
- •9. Задача Бюффона
- •10. Задача о делении приза
- •11. Теорема умножения. Независимость. Теорема сложения.
- •14. Схема и формула Бернулли, частные случаи. Ф-ла Пуассона
- •15. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •16. Дискретная случайная величина, ряд распределения, многоугольник и функция распределения
- •17. Мат. Ожидание дсв, его интерпретация и свойства
- •18.Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
- •19. Мода, медиана, начальный и центральный момент
- •20. Функцией распределения непрерывной случайной величины, ее свойства
- •21. Плотность вероятности непрерывной св. Ее свойства, мат. Ожидание, десперсия
- •22) Биноминальное распределение
- •23. Распределение Пауссона
- •24. Равномерное и показательное распределение.
- •25. Норм распределение. Функция Лапласса и его свойства
- •26. Система двух случайных величин, функция распределения и плотность.
- •27. Дисперсия
- •28. Независимость и некоррелированность
- •29. Числовые характеристики системы случайных велечин
- •31. Числовые хар-ки ф-ций случайной величины
- •32. Неравенство Маркова и Чебышева. Правило 3-х сигм
- •33. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона. Теорема Колмогорова.
- •34. Закон больших чисел. Теорема Муавра-Лапласа
- •35. Закон больших чисел. Теорема Ляпунова.
- •36. Основные понятия статистики: генеральная совокупность, выборка, вариационный ряд, статистический ряд, эмпирическая функция распределения.
- •38. Статистическая проверка гипотез. Критерий Пирсона
9. Задача Бюффона
П лотность раздроблена || прямыми отстоящие друг от друга на равное расстояние 2а.найти вероятность того что игла пересечет какую-нибудь прямую
10. Задача о делении приза
Пусть идет игра, счет 5:3, каждая команда отвечает с вероятностью 50%
Чтобы выиграть второй команде надо ответить 3 раза подряд т.е. Р=1/8
Значит вероятн выигрыша первой – 7/8
Так и делят приз.
11. Теорема умножения. Независимость. Теорема сложения.
Вероятн произ двух незав соб А и В=произ их вероятн Р(А*В)=Р(А)*Р(В)
Вероятн произ двух зав соб А и В = произ вер наступл А на условную вер соб В при усл что соб А уже произошло Р(А*В)=Р(А)*РА(В) РА(В)=Р(А/В)=Р'(АВ)/Р(А)
Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В,т. е. Р(В/А)=Р(В)
Вероятн суммы двух несов соб А и В = сумме вероятностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Вероятн суммы двух совм соб А и В = сумме вероятн этих соб без вер их произ Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)
12. Ф-ла полной вероятности
Будем говорить, что события H1,H2,….Hn образуют полную группу, если в рез-те эксперимента: происходит одно из событий Hi (i=1,…n); события H1,H2,..Hn попарно несовместны. В этом случае имеем:P(H1+H2+…+Hn)=P(h1)+P(H2)+…+P(Hn)=1, и вероятность произвольного события А, произошедшего в условиях данного эксперимента может быть вычислена по формуле полной вероятности:
13. Ф-ла Байеса
Пусть — полная группа событий, и — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие , может быть вычислена по формуле:
14. Схема и формула Бернулли, частные случаи. Ф-ла Пуассона
Пусть проводятся n независимых опытов, в каждом из которых событие А может наступить с вероятностью p. Обычно появление А называют успехом. Обозначим через q=1-p – вероятность того, что событие А не наступает, и через Bn(m)- событие, заключающееся в том, что в серии из n опытов закончатся успешно (ровно m раз произойдет событие А). Тогда для люього m=0,1,…,n справедлива формула (схема) Бернулли. P(Bn(m))=Cnmp^m*q^n-m. Теорема Пуассона. При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простыми асимптотическими формулами. Одна из них основана на теореме Пуассона. Если число испытаний n → и p→ 0 так, что np , > 0, то
при любых k = 0, 1, 2, … .
Это означает, что при больших n и малых p вместо вычислений по точной формуле
можно воспользоваться приближенной формулой
.
На практике пуассоновским приближением пользуются при npq= np(1-p) < 9.
15. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
if npq≥10
Лок. фор-ла Муавра-Лапласа: npq≥10
Pn(K)=1/sqrt(npq)*1/sqrt(2Π)*exp((-x^2)/2)
x=(k-np)/sqrt(npq)
Интегральная форм. Муавра-Лапласа:
P(K1≤К ≥К2)=Ф(х2)-Ф(х1)
X1=(k1-np)/sqrt(npq)
X2=(k2-np)/sqrt(npq)
Ф(х)=1/sqrt(2Π)* ∫-tt exp(-(t^2)/2)dt