1. Случайные события: испытания, вероятность, частота. Свойства частоты.

Опыт – выполнение комплекса условий в р-те которых происходит или не происходит опред. события (факты)

Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов. Относительной частотой W(A) события A наз отношение числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний.

Свойства частоты:

При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте.

2. События, алгебра событий

Простейшие неразложимые результаты опыта-элементарные события. вся совокупность эл. событий-пространство эл. событий. События: достоверные, случайные(совместные, несовместные), невозможные.

Любое конечн или счётное кол-во пространств элементов событий наз. событием. а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта; б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может; в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Произведением А*В событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Отрицание произошло событие не А.

A∈S; B∈S →A+B∈S

A∈S; B∈S →A*B∈S

A∈S→НЕА∈S

3. Аксиоматическое определение вероятности.

Вероятность события – численная мера объективной возможности его появления.

1) Каждому событию А ставится в соответствии число Р, которое называется вероятность А->Р(P>=0), P(A)=P, AэS, S<=Ω

2) Если события A1,A2…An несовместны, то верно равенство: P(A1+A2+…An)=P(A1)+P(A2)+…P(An) AiэS

3) P(Ω)=1 (вер-сть пространства элементарных событий)

4. Классическая вероятность.

Пусть события A1,A2,…,An ∈S, тогда некоторое события (M) приводят к событию А, а некоторые нет. Ь-благоприятствующее событию А. M=m(A). Вероятностью называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных исходов.

P(A)=m(A)/n

А+неА= Ω

P(А+неА)=P(A)+P(неА)=1

P(неА)=1-P(A)

5. Язык теории вероятности и теории множеств.

Первый и второй вопрос.

6. Статистическая вероятность, проверка аксиом

Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней. Lim(m/n)=P(A)

Зам 1. Из формулы следует, что св-ва вероятности, доказанные для ее классического определения, справедливы и для статистического определения вероят-ности.

Зам 2. Для сущ статистической вероятности события А требуется:

1)      возможность производить неограниченное число испытаний;

2)      устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа опытов.

Замечание 3. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности.

Пример. Если в задаче задается вероятность попадания в мишень для данного стрелка (скажем, р = 0,7), то эта величина получена в результате изучения статистики большого количества серий выстрелов, в которых этот стрелок попадал в мишень около семидесяти раз из каждой сотни выстрелов.

7. Геометрическая вероятность, проверка аксиом

П усть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположения этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле:

где l – длина отрезка l, а L – длина отрезка L.

М ожно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область  S и вероятности того, что она попадет на часть этой области s:

где s – площадь части области, а S – площадь всей области.

В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле V, попадет в его часть v, задается формулой:

 где v – объем части тела, а V – объем всего тела.

8. Задача о встрече

П усть 2 лица договорились о встрече в определенном месте с 17 до 18 часов. Каждый из них приходит наудачу независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова вероятность того, что они встретятся?

Тогда

|x-y|<=1/4

P(A)=1-P(неA)=1-2*3*3/(4*4)= =1-9/16=7/16