Измерения в геодезии Понятие «Измерения»

Процесс определения численных значений соответствующей величины с помощью приборов называется измерением. Следовательно, для проведения измерений необходимо знать единицу измерения и способы её получения, которые разделяются на прямые и косвенные. Так, например, при измерениях длины с помощью проградуированной линейки мы непосредственно прикладываем линейку к измеряемому объекту и прямо получаем его длину. При косвенных измерениях используется известная зависимость между искомой и непосредственно измеряемой величиной, например, температура тела косвенно связана с расширением ртути в термометре.

Наука об измерениях, методах достижения их единства и требуемой точности называется метрологией. К основным проблемам этой науки относятся образование систем единиц измерения, разработка методов и средств измерений с определением их точности, создание эталонов соответствующих единиц, а также проверка измерительных приборов и методов измерений. Исторически научная метрология зародилась после установления в Париже эталона метра в конце 18 века и создания Гауссом абсолютной системы единиц (1832 г.)

В геодезии основными измерениями являются измерения геометрических величин, а именно длин и углов.

Элементы теории ошибок измерения Классификация ошибок измерения

В геодезии при измерениях геометрических величин соответствующими приборами неизбежно возникают ошибки. Природа ошибок геодезических измерений вытекает из свойств измерительных приборов и субъективных особенностей операторов, пользующихся этими приборами. Ошибки первого рода носят название грубых промахов. К ним относятся просчеты оператора по причине его невнимательности или неисправности самого прибора. Ошибки первого рода недопустимы в геодезических измерениях и должны быть исключены полностью. Грубые промахи выявляются в процессе повторных измерений и внимательном анализе их результатов.

Ошибки второго рода называются систематическими. Эти ошибки происходят от известного источника, влияние которого можно учесть и откорректировать результаты измерения с помощью изменения методики получения результата.

Ошибки третьего рода носят название случайных ошибок. Они обусловлены, с одной стороны, классом точности геодезических измерительных приборов, состоянием окружающей среды и индивидуальными особенностями оператора, производящего измерения. Влияния ошибок измерения третьего рода избежать невозможно, но эти ошибки можно оценить с помощью методов математической статистики или теории ошибок. В основу теории ошибок положены следующие свойства:

1. Малые ошибки встречаются гораздо чаще, чем большие.

2. Ни одна из ошибок не может превышать известного предела.

3. При измерениях случайные ошибки могут быть больше или меньше истинной величины.

4. Сумма ошибок, деленная на число измерений, стремится к нулю при бесконечном возрастании числа измерений.

Математическое ожидание (Арифметическая середина), вероятнейшая ошибка измерения, средняя квадратическая ошибка.

Пусть, например, в геодезии измерена длина линии одним и тем же прибором несколько раз. В этом случае, зная сколько раз была измерена длина и её численные значения, полученные в каждом измерении, можно рассчитать среднее арифметическое значение по результатам полученных измерений.

X = (l₁ + l₂ + l₃ + … + l_n)/n =Σl_i /n; (1)

Где X – математическое ожидание или вероятнейшее значение измеренной величины, l_i – результат каждого измерения, n – общее число измерений.

Разности между математическим ожиданием и численным значением результата каждого измерения называются вероятнейшими ошибками измерений:

(2)

Сложив равенства (2) получим:

То есть арифметическая сумма вероятнейших ошибок измерения равна нулю. Этот факт является контролем при вычислениях точности измерений.

Для расчетов точности результатов измерений используется понятие о средней квадратической ошибке, которая для одного измерения вычисляется по формуле:

Где - сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений. Средняя квадратическая ошибка математического ожидания вычисляется по формуле:

Предельная ошибка случайной величины не должна превышать утроенной средней квадратической ошибки, то есть:

В геодезии принято представлять результаты оценки точности измерений в виде таблиц. Рассмотрим результаты измерений длины линии.

Таблица 1

№	Длина линии	Ошибка измерения (см)	Квадрат ошибки
1	225,26	+6	36
2	225,23	+3	9
3	225,22	+2	4
4	226,14	-6	36
5	225,23	+3	9
6	225,12	-8	64

X_ср = 225, 20; Σ = 0; Σ = 158; Вычислим среднюю квадратическую ошибку одного измерения: m = 5,6 см; Рассчитаем среднюю квадратическую ошибку математического ожидания: M = 2,3 см.

В геодезии принято оценивать точность измерения длины по так называемой относительной ошибке, которую вычисляют с помощью деления абсолютной ошибки на длину линии. Для приведенного примера: 2,3/22 520 = 1/9800.

Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений

Предположим, что несколько линий измерено стальной лентой дважды, а именно: в прямом и обратном направлении. Сформируем соответствующую таблицу:

Таблица 2

№	Результаты измерений м;		Разности см;	Квадраты разностей См2
	X1	X2
1	186,15	186,34	-19	369
2	204,50	204,30	+20	400
3	151,83	151,97	-14	196
4	216,08	215,85	+23	529
5	168,54	168,65	-11	121

Вычислим сумму квадратов разностей Σ = 1615. Далее рассчитаем среднюю квадратическую ошибку одного измерения:

M = …. = 3,22 см. Вычислим среднюю квадратическую ошибку среднего из двух измерений: 3,22/… = 2,28 см.

Понятие о неравноточных измерениях

Неравноточными называются измерения, которые выполнены различным числом приемов или приборами различной точности, то есть такие, когда необходимо определять значимость, или, иначе говоря, вес неравноточных измерений. Другими словами, вес неравноточных измерений это коэффициент доверия или достоверности каждого из неравноточных измерений. Если заранее известны веса неравноточных измерений, то их арифметическая середина, или вероятнейшее значение вычисляется по формуле:

Где р₁, р₂, …р_i,…р_n, соответствующие веса неравноточных измерений l₁, l₂,…l_i,…l_n.

В тех случаях, когда неизвестны веса измеряемых величин, а известны их средние квадратические ошибки, то веса можно определить по формуле:

То есть вес результата измерения обратно пропорционален квадрату средней квадратической ошибки.

При неравноточных измерениях средняя квадратическая ошибка одного измерения определяется по формуле:

Где - разность между отдельными результатами измерений и общей арифметической серединой. Средняя квадратическая ошибка общей арифметической середины вычисляется по формуле:

Линейные измерения. Измерения длины линий на местности являются линейными измерениями в геодезии. Линейные измерения выполняются с помощью непосредственного использования специальных мерных приборов, а именно: мерных лент, рулеток и проволок. Ленты бывают штриховые и шкаловые. Наибольшее распространение в практике получила стальная 20-метровая штриховая лента, на обоих концах которой имеются вырезы для металлических шпилек. Напротив вырезов наносятся штрихи, расстояние между которыми и определяют длину ленты. Метровые деления ленты оцифрованы, полуметры отмечены заклёпками, а дециметровые деления имеют сквозные отверстия. Число сантиметров относительно отверстий при отсчете по ленте оценивается на глаз. К концам ленты прикреплены ручки, которые служат для натяжения ленты в процессе измерения. Для удобства транспортировки лента наматывается на металлическое кольцо. К каждой ленте прилагается набор из 11 шпилек.

Шкаловые ленты имеют на концах шкалы с миллиметровыми делениями длиной 100 мм и позволяют проводить измерения повышенной точности.

Стальные рулетки изготавливаются в открытом или закрытом корпусе. Длина стальной рулетки составляет от 2 до 100 м. Деления на рулетках нанесены через 1 см или 1 мм.

Перед использованием приборы для измерения длины должны быть проверены путем сравнения их длины с длиной эталона. Такое сравнение называется компарированием и выполняется на специальных приборах – компараторах. Компараторы делятся на лабораторные и полевые. Лабораторные компараторы устанавливают на ровном полу или на полочках, укрепленных вдоль стен. Длина компаратора определяется инварными жезлами с высокой точностью. Компарируемая лента укладывается на компаратор, и при натяжении ленты силой 10 кг берутся отсчеты по шкалам. При компарирование лент определяется температура воздуха и записывается в журнал. Компарирование выполняется несколькими приемами, каждый раз сдвигают ленту вдоль шкалы компаратора

После компарирования получают фактическую длину рабочей ленты с учетом поправки за компарирование.

Где l_ф – фактическая длина рабочей ленты, l_к – номинальная длина рабочей ленты; Δl – поправка за компарирование.

Компарирование может быть выполнено на полевом компараторе, который представляет собой закрепленный на местности базис. При компарировании ленты длину компаратора измеряют многократно этой лентой, после чего находят среднее значение из результатов измерения.

Компарирование ленты может быть также выполнено путем сравнения её длины с длиной ранее компарированной ленты или рулетки. Для этого обе ленты укладывают на ровную поверхность и с одной стороны совмещают их нулевые штрихи. Расхождение нулевых штрихов с другой стороны лент измеряют линейкой с миллиметровыми делениями. Полученная величина и будет являться поправкой за компарирование Δl.