20. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность. Выборочный метод. Репрезентативная выборка.

Выборочный метод – это один из основных методов математической статистики.

Одной из центральных задач математической статистики является выявление закономерностей в статистических дан­ных, на базе которых можно строить соответствующие модели и принимать обдуманные решения. Под статистическими дан­ными подразумеваются данные наблюдений за значениями не­которой случайной величины или совокупности случайных величин, характеризующих изучае­мый процесс.

Первая задача математической статистики – указать спо­собы сбора и группировки статистических данных, полученных в результате наблюдений или испытаний.

Вторая задача математической статистики – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Элементами такого анализа являются:

а) оценки неизвестной вероятности события, неизвестной функции распределения, неизвестных параметров известного распределения, зависимости двух или нескольких случайных величин и т. п.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного рас­пределения; о величинах параметров известного распределения; о виде и силе зависимости между рассматриваемыми случайными величинами.

Таким образом, основная задача математической статисти­ки состоит в создании методов сбора и обработки статистиче­ских данных для получения научных и практических выводов. Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений или реализаций исследуемой случайной величины X при данном реальном комплексе условий. Выборкой (выборочной совокупностью) называют часть ге­неральной совокупности, отобранную для изучения. Число элементов рассматриваемой совокупности называется ее объемом.

Репрезентативная выборка – это такая выборка, в которой все основные признаки генеральной совокупности, из которой извлечена данная выборка, представлены приблизительно в той же пропорции или с той же частотой, с которой данный признак выступает в этой генеральной совокупности.

21. Вариационные и интервальные ряды. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения. Вариационные ряды – это раздел математической статистики – науки о методах обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений в социальных, экономических и технических системах. Интервальным вариационным рядом называют упорядоченную совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений величины. Для построения интервального ряда необходимо: 1. определить величину частичных интервалов; 2. определить ширину интервалов;

3. установить для каждого интервала его верхнюю и нижнюю границы; 4. сгруппировать результаты наблюдении. Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁), (x₂, n₂),..(x_k, n_k), где x_i – варианты выборки и n_i – соответствующие им частоты. Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x₁, w₁), (x₂, w₂),..(x_k, w_k), где x_i – варианты выборки и w_i – соответствующие им относительные частоты. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длины h, а высоты равны отношению n₁/h (плотность частоты). Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборке n. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длины h, а высоты равны отношению w₁/h (плотность относительной частоты). Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице. Эмпирическая функция распределения. По статистическому ряду можно построить эмпирическую функцию распределения F^* (х): где п_х — число значений случайной величины X, меньших, чем х; п — объем выборки. По определению F^*(x) обладает следующими свойствами: 1. ее значения принадлежат от 0 до 1, т.е. 0  F^*(x)  1. 2. Для любых х₁ < х_2, F^*(x₁)  F^*(x₂), т.е. не убывающая. 3. F^*(x) = 0 при х  х₁; F^*(x) = 1 при х > x_k. Эмпирическая функция распределения F^*(х) является оцен­кой функции распределения F(x) = Р(Х < х), которая в этом слу­чае называется теоретической функцией распределения