Вопрос 2 Ортогональные преобразования сигналов

При расчете характеристик основных линейных дискретных систем широкое применение нашли вычисление круговой (периодической) и линейной (апериодической) сверток.

Если Х₁(nT), X₂(nT) – периодические последовательности с периодом М , то

(2)

также является периодической с периодом в М отсчетов. Операция вычисления (2) называется круговой (периодической) сверткой последовательностей Х₁(nT), X₂(nT). Данную свертку называют циклической, т.к. ее определяют исходя из условия, что обе последовательности Х₁(nT), X₂(nT) периодически повторяются вне интервала 0< m < M-1, что эквивалентно преобразованию индексов по модулю М.

Найдем ДПФ круговой свертки Y(k), если ДПФ последовательностей Х₁(nT), X₂(nT) соответственно равны Х₁(k) и X₂(k).

(3)

Заметим, что периодическая последовательность х₃(nT), равная произведению периодических последовательностей х₁ (nT) и х₂ (nT), каждая с периодом в М отсчетов

имеет дискретное преобразование Фурье

(4)

где Х₁(k) и X₂(k) соответственно Фурье образы последовательностей Х₁(nT), X₂(nT).

Члены последовательности X₂(nT) располагаются в обратном порядке по отношению к сигналу Х₁(nT), причем напротив X₂(i) находится Х₁(0). Одно значение выходного отсчета y( i ) получается суммированиемвсех попарных произведений противостоящих значений импульсной характеристики X₂(nT) и сигнала Х₁(nT).

Пример. Вычислить круговую свертку y(nT) двух последовательностей Х₁(nT)={0, 1, 2} и X₂(nT)={1, -1, 0} с М = 3.

Решение. Согласно определению круговой свертки выражение для вычисления выходной последовательности имеет вид

Таким образом, достаточно вычислить значение выходной последовательности для точек m= 0, 1, 2. Получаем

Таким образом, выходная последовательность Y(nT) = {0, 1, -1}.

Круговую свертку можно вычислить с использованием дискретного преобразования Фурье по следующему алгоритму:

1. Вычислить ДПФ последовательностей сигналов Х₁(nT), X₂(nT).

2. Вычислить ДПФ выходной последовательности Y(nT).

3. Вычислить выходную последовательность (свертку) y(nT) путем использования обратного преобразования Фурье.

На практике для уменьшения объемов вычислений и повышения скорости определения свертки реализацию указанного алгоритма осуществляют с помощью быстрых алгоритмов вычисления ДПФ, т.е. БПФ.

Линейная (апериодическая) свертка дискретных сигналов.

Если Х₁(nT), X₂(nT) – соответственно конечные М₁ – точечные и М₂ – точечные дискретные сигналы, то выражение

(5)

является линейной (апериодической) сверткой последовательностей Х₁(nT), X₂(nT). Данная свертка дискретного сигнала имеет длину, определяемую исходя из условия,

М₃ = М₁ + М₂ – 1.

Пример. Пусть дана последовательность длиной М₁ = 2 , причем х₁(0) = 1, х₁ (Т) = 2. Кроме того определена вторая последовательность длиной М₂ = 3 , причем х₂(0) = -2, х₂ (Т) = 1, х₃ (2Т) = 2. Вычислить линейную свертку дискретных сигналов.

Решение. Определяем длину линейной свертки. Она равна М₃ = М₁ + М₂ – 1 = 4.

Согласно выражению (3) имеем следующие значения выходной дискретной последовательности

Таким образом, выходная последовательность имеет следующий вид

Y(nT) = {-2, -3, 4, 4}.

Алгоритм вычисления круговой свертки может быть применен для вычисления линейной свертки. С этой целью необходимо от дискретных входных сигналов Х₁(nT), X₂(nT) перейти к М₃ = М₁ + М₂ – 1 точечным сигналам Х₁*(nT) и X₂*(nT), дополнив последовательности Х₁(nT), X₂(nT) соответствующим числом нулевых отсчетов. Затем, вычислив в М₃ точках ДПФ Х₁*(k) и X₂*(k), найти их произведение – ДПФ выходной последовательности Y(k)= Х₁*(nT) X₂*(nT),а затем, использовав обратное преобразование Фурье, вычислить свертку y(nT).

Z-преобразование

В задачах синтеза линейных дискретных систем широко применяются методы Z-преобразований. Одностороннее Z-преобразование последовательности x(nT), n = 0, 1, 2, …, определяется радом

(6)

где комплексная переменная.

Множество значений z, где ряд (1.3.1) сходится называется областью сходимости. Область сходимости определяется радиусом круга R в z-плоскости.

Свойства Z – преобразования.

1. Линейность. Если последовательности x₁(nT), x₂(nT) имеют соответственно Z – преобразования X₁(z), X₂(z) , а А1 и А2 постоянные, независящие от переменной n коэффициенты, то выходная последовательность

имеет изображение (Z – преобразование)

(7)

2. Сдвиг последовательности. Если входная последовательность x(nT) имеет Z – преобразование и x(nT)=0 при n < 0, то выходная последовательность вида имеет Z – преобразование вида

(8)

3. Свертка последовательностей. Если последовательности x₁(nT), x₂(nT) имеют соответственно Z – преобразования X₁(z), X₂(z), то свертка этих последовательностей

имеет Z – преобразование равное произведению Z – преобразований входных после довательностей

(9)