Лекция 7. Основные методы цифровой обработки сигналов

Вопросы

1. Цифровая фильтрация

2. Ортогональные преобразования сигналов

Вопрос 1. Цифровая фильтрация. Основные понятия о цифровых фильтрах

П од цифровым фильтром (ЦФ) понимают дискретную систему, описываемую уравнением

И реализованную программным путем на цифровой ЭВМ (такая ЭВМ может быть специализированной, учитывающей особенности алгоритма ЦФ) или аппаратным путем в виде специализированного цифрового вычислительного устройства; последнее представляет собой совокупность ряда операционных устройств – регистров, сумматоров, умножителей, устройств управления.

Сигналы на входе x(nT) и выходе y(nT) ЦФ (рис. 2.1) являются цифровыми, т.е. последовательностями чисел. Каждое из этих чисел представляется в виде двоичного кода, и в цифровом фильтре в соответствии с алгоритмами выполняются операции пересылки, сложения, умножения кодов.

Сигналы на входе х(пТ) и выходе у(пТ) ЦФ (рис. 2.1) являются цифровыми, т. е. последовательностями чисел. Каждое из этих чисел представляется в виде двоичного кода, и в цифровом фильтре в соответствии с алгоритмами (2.1) выполняются операции пересылки, сложения, умножения кодов.

Однако при этом алгоритм функционирования реализуется неточно. Ошибки цифровой фильтрации обусловлены, во-первых, квантованием входных и выходных сигналов (т. е. представлением их отсчетов числами с определенным конечным числом разрядов), во-вторых, квантованием коэффициентов фильтра а_m, b_k и, в-третьих, конечной разрядностью операционных устройств (регистров), вследствие чего имеет место округление результатов арифметических операций. Поэтому при реализации ЦФ следует учесть поведение упомянутых ошибок, которые часто называют ошибками квантования. Это значит, что выбранная структура ЦФ, разрядность входных и выходных сигналов, длина регистров арифметических устройств должны быть определены так, чтобы ошибки квантования не превосходили допустимой величины. Точность реализации алгоритма (2.1) является важным критерием качества ЦФ.

Другим важным критерием качества ЦФ является его быстродействие, определяемое временем t_min; необходимым для вычисления одного отсчета выходного сигнала. Очевидно, что должно выполняться условие t_min ≤ T, где Т—заданный период дискретизации сигналов.

Для ЦФ, работающих в реальном масштабе времени, например в системах связи и управления, быстродействие является определяющим параметром. Повышение быстродействия часто связано с определенным математическим и программным обеспечением и с увеличением аппаратурных затрат (введение буферных регистров для реализации поточной обработки информации, введение параллельной реализации нескольких операций и т. д.).

Импульсная характеристика линейных дискретных фильтров.

Важнейшей временной характеристикой линейного дискретного фильтра является импульсная характеристика, под которой понимается реакция системы h(nT) на единичный импульс δ(nT) при нулевых начальных условиях. Импульсную характеристику цифрового фильтра можно рассчитать путем решения разностных уравнений.

Пример. Вычислить импульсную характеристику системы, описываемую разностным уравнением 1-го порядка

Пусть у(-Т) = 0, x (nT) = δ(nT): при этом y(nT) является h(nT) и, следовательно,

Тогда имеем

Реакция фильтра на произвольное воздействие.

Зная реакцию фильтра на единичный импульс можно определить реакцию фильтра на произвольное воздействие, поданное на вход ЦФ. Данную реакцию можно рассчитать, используя дискретную свертку. Действительно, входная последовательность фильтра определяется следующим соотношением

(7.2)

Так как реакция фильтра на единичный импульс δ(nT) есть импульсная характеристика h(nT), то вследствие стационарности фильтра h(nT – mT) будет реакцией фильтра на последовательность δ(nT-mT) и из свойств линейности фильтра следует, что реакция y(nT) на последовательность х(nT) будет равна

(7.3)

Заменой переменных выражение (7.3) может быть преобразовано к виду

(7.4)

Полагая, что y(nT)=0, при n < 0 и х(nT)=0, при n < 0, получаем

(7.5)

Если входная последовательность х(nT) и h(nT) конечны и отличны от нуля только в N точках, n = 0, 1, 2, …, N – 1. То

(7.6)

Формулы свертки (7.5) и (7.6) определяют выходную последовательность как сумму откликов системы на входную последовательность импульсных воздействий и позволяют вычислить выходную последовательность y(nT) при нулевых начальных условиях и при произвольной входной последовательности х(nT) .

Пример. Определить переходную характеристику g(nT) – реакцию линейной дискретной системы при нулевых начальных условиях на единичную последовательность.

Так как единичная последовательность определяется соотношением

то переходная характеристика определяется

Тогда можно заметить, что

(Сравнить с и тогда импульсная характеристика на один одиночный импульс будет определяться как разность переходных характеристик сдвинутых на один период единичных сигналов).

Связь между передаточной функцией и импульсной характеристикой.

Передаточной функцией линейной дискретной системы фильтра H (z) называют отношение

(7.7)

где X(z) - Z-изображение входной последовательности x(nT) системы, а переменная Y(z) - Z – изображение выходной последовательности y(nT) системы при нулевых начальных условиях.

Пример. Пусть задана входная последовательность x(nT) = {1, 0, 1, 2} и выходная последовательность фильтра у(nT) = { 0, 1, 2, 1}. Определить передаточную функцию данного фильтра.

Решение.

Если входная последовательность представляет собой единичный импульс – δ(nT), а выходная последовательность фильтра – импульсная характеристика h(nT), то найдя отношение их Z-изображение получим передаточную функцию.

Известно, что Z – изображения единичного импульса Z{x(nT)}=Z{δ(nT)}=1, тогда Z-изображение выходной последовательности будет равно

(7.8)

Таким образом, Z-образ импульсной функции совпадает с передаточной функцией фильтра.

Если записать передаточную функцию в общем виде

то очевидно, что коэффициенты b_k совпадают с k-ми выборками импульсной характеристики h(kT) и, следовательно,

(7.9)

В случае конечной импульсной характеристики h(kT) = 0, k > N имеем

(7.10).

Из выражений (7.9) и (7.10) следует, что импульсную характеристику (последовательность h(kT)) можно вычислить из расчета передаточной функции, т.е.

(7.11)

Фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ) называется фильтр, у которого импульсная характеристика представляет собой, конечный дискретный сигнал (N-точечный дискретный сигнал), т.е. может принимать отличные от нуля значения лишь при n = 0, 1, 2, …, N-1.(как правило - нерекурсивные ЦФ).

Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) называется фильтр, у которого импульсная характеристика может принимать отличные от нуля значения на бесконечном множестве n = 0, 1, 2, …(как правило - рекурсивные ЦФ).

Очевидно, что НЦФ всегда является КИХ-фильтром, а РЦФ могут быть как КИХ-фильтром, так и БИХ-фильтром.