29. Дифференциальные уравнения.

Диф. ур-е- это ур-е , связывающее искомую ф-ю одной или нескольких переменных. Эти перемен. и производные различных порядков этой ф-и. В общем виде диф. ур. м.б. представлено: (1). Где f–некоторая ф-я. Данная ф-я имеет n+2 перемен., где . Порядок n (порядок старшей произв.) называется порядком ур-я. Замечание: если искомая ф-я зависит от 1ой перемен., то диф. ур-е называют обыкновенным. Если от нескольких перем., то ур-е называется уравнением в частных производных. Решением диф. ур-я называется такая ф-я y=f(x) при подстановке кот. в ур-е (1) обращает его в тождество: . Если решение ур-я (1) получено в неявной форме, т.е. F(x,y)=0, то это ур-е называют интегралом диф. ур-я. Задача о нахождении решения диф. ур-я называется задачей интегрир-я данного диф. ур-я. График решения диф. ур-я называют интегр. кривой. Пусть задано диф. ур-е (1). Общим решением данного ур-я называется такое его реш-е: (2), кот. является ф-ей перемен. Х и n-произвольных независ. постоянных . Если постоянным придать вполне определённые значения, то решение будем называть частным реш-ем. Для нахождения частного реш-я диф. ур-я в общем случае необходим задать n-начальных усл. . (*) – общее реш-е диф. ур-я, но если задать условие, что при х₀=0, y=1, то можно найти частное решение. (**) – частное реш-е. Пример: из статистических данных известно, что для некоторого региона число умерших за ед. времени пропорцианольно численности населения соотв. c коэф. k₁, k₂. Найти закон измениния численности насел-я с течением времени. Решение: пусть число жителей рег. В некоторый момент времени t определяется ф-ей: .

Прирост населения за время = разности между числом родившихся и числом умерших за промежуток времени . . Устремив к 0 в последнем рав-ве мы можем перейти к lim: . Мы получим диф. ур-е, а с другой стороны мы получим мат. модель демографического процесса. Решая данное ур-е мы получим закон изменения численности населения: – решение ур-я и число жителей региона в момент времени t. C – это const определяемая нач. усл.(численность нас. в нач. момент времен t). Диф. ур-я I порядка. Пусть задано диф. ур-е I порядка: . Рассмотрим геом. смысл данного диф. ур-я. Он состоит в следующем: в каждой точке плоскости XOY направление касательной совпадает с интегральной кривой y=y(x)б проходящей через т. с координатами (x,y)(рис.1). Можно сказать, что ур-е (1) задаёт поле направлений в некоторой области (гамма). Решить ур-е (1) значит найти семейство кривых, отвечающих данному полю направлений. Теорема: пусть в диф. ур-е (1) ф-я f(x,y) и её частная произв. непрерыв. в открытом множ-ве Г координатной плоскости XOY, тогда: 1) для всякой т. (x₀, y₀) найдётся решение ур-я (1) удовл. Начальным усл. y(x₀)=y₀. 2) если 2 реш-я ур-я (1) и совпадают хотя бы для одного знач. x=x₀, т.е. , то эти решения совпадают для всех x для кот. определены. Геометрически смысл теоремы состоит в том, что через каждую точку с корд (x₀, y₀) мн-ва Г проходит одна и только одна интегральная кривая ур-я (1). Задача отыскания частного решения диф. ур-я (1) удовл. нач. усл. y(x₀)=y₀ называется задачей Каши. Даная теорема устанавливает усл. существов-я и единственности реш-я задачи Каши.