15. Приложение производной.

1.Теорема Ферма. Если дифференцируемая на [a,b] ф-ция у=f(х) достигает наибольшего (наименьшего) значения во внутр. точке этого промежутка, то в этой точке производная ф-ции =0. ( €[a,b], f’( )=0 )

2.Теорема Ролля. Пусть ф-ция у=f(х):

1) непрерывна на отрезке [a,b];

2) дифференцируема на интервале (a,b);

3) на концах отрезка принимает равные значения , f(a)=f(b),

Тогда внутри отрезка сущ-ет по крайней мере одна такая т.С, в кот-ой производная ф-ции = 0.

(Касательная к графику ф-ции в т.С II оси ОХ.)

3.Теорема Лагранжа. Пусть ф-ция у=f(х):

1) непрерывна на отрезке [a,b];

2) дифференцируема на интервале (a,b),

Тогда внутри отрезка [a,b] сущ-ет т.С такая, что производная в ней равнна: f’(с)= .

4.Теорема Каши. Пусть ф-ция у=f(х) и g(x):

1) непрерывны на отрезке [a,b];

2) дифференцируемы на интервале (a,b); причём 3)g’(x) 0 на (a,b),

Тогда внутри отрезка сущ-ет по крайней мере одна т.С такая, что имеет место: = .

5.Теорема(правило) Лопиталя.

Предел отношения 2х бесконечно больших или 2х беск. малых ф-ций = пределу отношения их производных, если последнее сущ-ет: = .

Данное правило используют при раскрытии неопределённости: ; .

Замечание 1: Это правило можно применить для раскрытия неопределённости вида 0, . f(x)*g(x) следует представить в виде : или .

Замечание 2: С помощью правила можно раскрывать неопределённость вида и .

В этом случае: : = .

16.Использование производной для исследования св-в ф-ции. Пусть задана ф-ция у=f(х) непрерывная на (а,в) и дифф-ма на этом промежутке. Будем говорить, что ф-ция возрастает (убыв) на промежутке (а,в) если её производная положительна (отриц) во всех точках данногго промежутка. Точкой х нулевое назыв точкой мах (мин) если в некоторой малой окрестности точки х нулевое выполняется неравенство: f(х нулевое) больше или равно f(х) и наоборот. Если для всех точек х не равно х нулевое этой окрестности выполняется строгое неравенство f(х нулевое) больше f(х) и наоборот, то в этом случае говорят, что х нулевое явл точкой строгого мах или мин данной ф-ции. Необходимое условие экстремума. В точке экстремума ф-ции её производная либо= 0 либо, не существует. Достаточное условие экстремума. 1) если в точке х нулевое ф-ция у=f(х) непрерывна, а производная f(х) при переходе через точку х нулевое меняет знак, то точка х нулевое явл точкой экстремума, причем если знак производной поменялся с + на – то точка мах, если с – на + то точка х нулевое мин. 2) если в точке х нулевое производная f штрих (х нулевое) =0, а вторая производная положительна, то точка х нулевое явл точкой мин. Если в точке х нулевое производная fштрих (х нулевое)=0. А вторая производная отрицательна, о в точке х нулевое ф-ция имеет мах.3) если у ф-ции у=f(х) в точке х нулевое производная до порядка n-1 включительно =0, а производна порядка n отлична от нуля в точке х нулевое, то при n-нечет экстремума нет, при n –четн х нулевое явл точкой экстремума при этом если n-ая производная положительная, то х нулевое точка мин, если отрицательно, то х нулевое точа мах. Производную используют для нахождения наибольшего или наименьшего значения ф-ции на промежутке (а,в). С этой целью для ф-ции у=f(х) на (а,в) необходимо определить точки экстремума, найто значения ф-ции на концах отрезка (а,в) и точках экстремума и из полученных значений выбрать наименьшее и наибольшее. Замечание. Если дифф-мая на интервале (а,в) ф-ция у=f(х) имеет единственную точку экстремума, то в этой точке достигается наибольшее или наименьшее значение на интервале (а,в). Интервалы выпуклости ф-ции и точка перегиба. Ф-ция у=f(х) называется выпуклой вверх на промежутке (а,в) если для любых 2-ух значений х1 и х2 из этого промежутка выполняется неравенство f( ) ≤ для выпуклой ф-ции график ф-ции будет ниже касательной. Для вогнутой график будет выше касательной. Если 2-ая производная f штрих (х) ф-ции у=f(х)положительна на промежутке (а,в), то на этом промежутке ф-ция явл выпуклой вниз. Если 2-ая производная f два штриха (х) ф-ция у=f(х) отрицательна на промежутке (а,в) то на этом промежутке ф-ция выпукла вверх. Если при переходе через точку х нулевое меняется характер выпуклости, то точка х нулевое назыв точкой перегиба т.е. точка перегиба это точки разделяющие интервалы выпуклости. Если точка х нулевое точка перегиба ф-ции у=f(х), то вторая производная ф-ции в этой точке =0. Если вторая производная меняет знак при переходе через точку х нулевое, то точка х нулевое явл точкой перегиба ф-ции у=f(х). Асимптоты. Прямая называется асимптотой графика ф-ции у=f(х) если расстояние от точки х1f(х) до этой прямой стремится к 0при неограниченном удалении графика от начала координат. Различают 3 вида асимптот: 1. Вертикальные. 2. Горизонтальные. 3. Наклонные. Прямая х=х0 назыв вертикальной асимптотой графика ф-ции у=f(х) если хотя бы 1 из пределов слева и справа=±∞ . х 0 точка разрыва или граничная точка D(y), тогда прямая будет вертикальна. Прямая у=в нызыв горизонтальной асимптотой ,если предел f(х) х → ∞ = в. Прямая у=kx+b назыв наклонной асимптотой к графику ф-ции у=kx+b, если k-предел. k= предел f(х)/х, х→ ∞, в= предел х→ ∞ (f(х)-k(х)) (k≠0).

17. Полная схема исследования ф-ции и построение графика:1. Одз. 2. Определение четности. 3. Периодичность. 4. Экстремумы и характер монотонности. 5. Точки перегиба и характер выпуклости. 6. Асимптоты. 7. Точки пересечения с осями координат (если необходимо некоторые промежуточные значения).

18. Функция нескольких переменных. Если каждому набору из n переменных: х1,х2,х3,…,хn из некоторого множества хn поставить в соответствие некоторое вполне определенное значение переменной Z, то говорят, что задана ф-ция нескольких переменных Z=f(х1,х2,…,хn). Множество х-область определения ф-ции. Множество которое принимает переменная Z назыв областью значений. Множество х-для ф-ции 2-ух переменных представляет собой некоторую плоскую фигуру или плоскость. Для ф-ции 3–х переменных область определения представляет собой 3-х мерное пространство или его часть. График ф-ции 2-ух переменных Z=f(х,у) представляет собой множество точек х,у,z. 3-х мерного пространства т.е. график представляет собой некоторую поверхность. Линия уровня ф-ции 2-ух переменных f(х,у)=С назыв множество точек плоскость таких что во всех этих точках значения ф-ции одно и то же и=с число с в этом случае назыв уровнем. Z=х во второй степени + у во второй степени. Линия уровня представляют собой концентрические окружности.

Предел ф-ции нескольких переменных. Число А назыв пределом ф-ции Z=f (х,у) при х → х0 , у → у0, если для любого положительного Е найдется положительное б, зависящая от Е такое, что для всех точек х и у, отстоящих от точек х0 и у0 на расстоянии меньшее, чем б выполнится неравенство: │f(x,y)-A│˂E А=предел х → х0 , у → у0 f(х,у). ф-ция Z=f(х,у) назыв непрерывной в точке х0 и у0, если она:1. Определена в точке х0 и у0. 2. Имеет конечный предел при х → х0 , у → у0. 3. Этот предел = значению ф-ции в этой точке. Пусть задана ф-ция Z=f(х,у) зададим аргументу приращение ∆х и соответственно у; ∆у. тогда ф-ция Z также получит некоторое наращенное значение. Введем величину ∆Z=f(x+∆x;y+∆x)-f(x;y). ∆Z назыв полным приращение ф-ции в точке х,у. Если задавать приращение ф-ции только одного аргумента ∆х, тогда величину ∆хZ=f(x+∆x,y)-f(x,y). (∆yZ=f(x,y+∆y)-f(x,y)),которая назыв частным приращением. Частной производной ф-ции нескольких переменных по одной из этих переменных назыв предел отношения соответств частного приращения ф-ции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к 0. = = ; = ; = Замечание. Для нахождения частных производных по одной из переменной, все другие переменные явл величинами постоянными →можно использовать табл производных и правила дифф-ия для ф-ции с 1-ой переменной.z=3 +6 , =6x, =18 .

19. Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆хz. Итак,

Δхz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).

Аналогично получаем частное приращение z по у:

Δуz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).

Полное приращение Δz функции z определяется равенством

Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у).

Если существует предел

то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов:

Частные производные по х в точке М0(х0;у0) обычно обозначают символами .Аналогично определяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у:

таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной). Геометрический смысл частных производных функции двух переменных : Графиком функции z= ƒ (х; у) является некоторая поверхность (см. п. 12.1). График функции z = ƒ (х; у0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у = уо. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной (см. п. 20.2), заключаем, что ƒ'x(хо;уо) = tg а, где а — угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой z = ƒ (х; у0) в точке Мо(хо;уо; ƒ(хо;уо)) (см. рис. 208).

Аналогично, f'y (х0;у0)=tgβ.

20.Диференциал функция неск переменных. пусть задана функция 2-ух переменных z=f(x,y). Дифференциалом функции z наз. Сумма частных производных этой фун-ии на приращение независимых переменных, т.е. dz=z’_x∆x+z’_y∆y, dz=(∂_z/∂_x)*∆x+(∂_z/∂_y)∆y (1). Приращение ∆х- это есть dx, a ∆y=dy, тогда dz=(∂_z/∂_x)*dx+(∂_z/∂_y)*dy (2). Функция z=f(x,y) наз. Дифференцируемой в точке с координатами х,у, если ее полное приращение может быть представлено в виде ∆z=dz+α∆x+β∆y (3), где α=α(∆х,∆у), β=β(∆х,∆у) есть бесконечно малые фун-ии при ∆х, ∆у→0. Дифф-ал фун-ии 2-ух переменных, как и в случае одной переменной представляет главную часть линейную относительно ∆х и ∆у полного приращения фун-и. геометрический дифф-ал фун-ии dz есть приращение аппликаты касательной к плоскости k поверхности z=f(x,y). В данной точке, когда переменные х и у получат приращения ∆х и ∆у соответственно. Условия дифференцируемости фун-ии: для фун-ии нескольких переменных существование частных производных явл. необходимым условием дифференцируемости, но не явл. достаточным. Если частные производные фун-ии z=f(x,y) существуют в окрестности точки с координатами х,у, то фун-я z-дифференциируема в этой точке. Замечание: под окрестностью точки плоскости будем понимать круг (шар) с центром в этой точке.

21.Производная по направлению. производной для фун-ии z=f(x,y) по направлению L наз. предел отношения приращения фун-ии в этом направлении к величине перемещения ∆L при стремлении последней к 0. Z’_L=lim_∆L→0 ∆Z_L/∆L. эта величина характеризует скорость направления L. Чаще всего производная по направлению выражается через частные производные Z’_L=Z’_x* cosα+Z’_y*cosβ, где α и β-это углы, кот. образуют направление L с координатами осями. Градиент фун-ии: градиентом фун-ии z=f(x,y) наз. вектор, координатами которого явл. частные производные: перевернутый ∆z=(z’_x; z’_y ) (перевернутый треугольник – набла). Производная по направлению градиента есть скалярное произведение градиента фун-ии z и единичного вектора L с координатами cosα, cosβ, которая задает направление L. Градиент фун-ии задает направление наибольшего роста, а его длина скорость изменения фун-ии в этом направлении. Градиент фун-ии z в т. М (х,у) отличный от 0 перпендикуляно линии уровня, проходящий через эту точку.