78. Написать общее и частное решение с неопределёнными коэффициентами для уравнения:

y=e^λx(C₁+C₂x)

79. y=C₁e^λx+C₂е^{λx ;} 80.у=е^ах(С₁cosβx+C₂sinβx) ; 82. y’’-2y’-8y=5xe^4x

Λ²-2λ-8=0 ; D=4+32=36; Λ_1,=-2 λ₂=4; Y=C₁e^-2x+C₂e^4x ; f(x)=P_n(x)e^ax; y=e^axx^kT_n(x), если а - корень характеристического уравнения , то К – кратность этого корня y=e^4xx(Ax+B) , y=C₁e^-2x+C₂e^4x+e^4xx(Ax+B)

83. y’’-8y’+20y=e^4xsin2x; Λ²-8λ+20=0 ; D=64-80=-16 ; Λ=4+-2i

F(x)=e^ax(P_n(x)sinbx+Q_m(x)cos bx)

F(x)=e^4x(sinbx+0coxbx)

Yч=e^4xx(Asin2x+Bcos2x)

Y=e^4x(C₁cos2x+C₂sin2x)+e^4x(Asin2x+Bcos2x)

76. Докажите, что линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка также является решением этого уравнения. Пусть у₁(х) и у₂(х),….,у_к(х) – произвольные решения линейного однородного дифференциального уравнения и С₁, С₂,….,С_к – произвольные постоянные, тогда линейная комбинация С₁у₁(х)+С₂у₂(х)+….+С_ку_к(х) также является решением этого уравнения. Действительно, на основании L(C₁y₁+C₂y₂)= C₁L(y₁)+C₂L(y₂), имеем: L(C₁y₁+C₂y₂+….+C_ky_k)=C₁L(y₁)+C₂L(y₂)+…+C_kL(y_k)=0 что и требовалось доказать.