3. Дифференциальное уравнение первого порядка.

ДУ вида F(x;y;y’)=0 (1) называют ДУ 1ого порядка, а уравнение y’=f(x;y) (2) называют ДУ1ого порядка с разрешенным относительно производной.

Т.к. решение ДУ (2) задает семейство интегральных кривых то для построения необходима хотя бы одна точка принадлежащая этой кривой. Назовем эту точку начальным условием (x₀,y₀)

y(x₀)=y₀

y/=y₀(3) начальное условие

х=х₀

тогда можно найти семейство касательной через угловой коэффициент к и (х₀,у₀) которые будут образовывать поле направлений и если существует такая прямая которая ограничена или задает одинаковое направление поля то она называется изокменой.

ДУ (2) может быть записано в виде dy/dx=f(x;y)

dy=f(x;y)dx

P(x;y)dy+Q(x;y)dy=0 (4)

Уравнение (4) удобно тем, что переменные в этом уравнение (х,у) равноправны.

Самым простым видом ДУ (4)

P(x)dx+Q(y)dy=0 например xdx+ydy=0

Ydy=-xdx

ydy=-xdx

y²/2=-x² получим y²+x²≠c

3. Общее и частное решение дифференциальных уравнений.

Если решение записано в неявной форме то его называют общим интегралом.

Для ДУ 1ого порядка различают частное и общее решение. Функция y=(x;c) называют общим решением если она удовлетворяет след. условиям:

1)она является решением ДУ при каждом фиксированном с.

2) каковы бы не были условия 4 можно найти такое решение с=с₀

у=(х,с₀) является решением ДУ удовлетворяющим начальным условиям

уравнение y=(x;c₀) называется частным решением.

Решить ДУ значит решить задачу Коши.

Теорема. О существовании и единичности решения задачи Каши. Если f(x;y) и ее частная производная f’y(x;y) непрерывны в некоторой области Д содержащей точки x₀,y₀ то существует единственное решение у=(х) удовлетворяющее начальным условиям 4.

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

P1(x)Q1(y)dx+P2(x)Q2(y)dy=0 - называют ДУ с разделяющимися переменными

+ =

dx+ dy=0 – ДУ с разделёнными переменными.

Q1(y)P2(x)=0 – особое решение, если она существует.

(y+yx)dx+(x-xy)dy=0

+ =0

dx+ dy=0

dx+ )dy=

LnIxI+x+Lny-y=c

LnIxyI+x-y=c – получили общий интеграл

(xo; yo)=(1,2)

Ln2+1-2=c

c=Ln2-1

LnIx-yI+x-y=Ln2-1 – частное решение или частный интеграл

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Рассмотрим функцию f(x;y), если при умножении каждого аргумента на множитель «ланда» сама функция увеличивается в «ланда» степени k раз, то функция называется однородной, то есть f(ланда x, ланда y)= ланда в степени k f(x,y)

Пример:

- функция однородна.

Если f(x;y) в уравнении однородная, то и всё уравнение однородное.

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

y’+p(x)y=g(x) – линейное дифференциальное уравнение, где p(x) и g(x) – заданные функции в частности постоянные. Особенностью этого уравнения является, то что производная и функция не перемножаются.

Решение ищут с помощью подстановки

1 шаг. y=uv, u=u(x), v=v(x)

y’=u’v+uv’

u’v+uv’+p(x)uv=g(x)

u’v+u(v’+p(x)v)=g(x)

Подберем функцию v таким образом чтобы вся скобка =0

v’+p(x)v=0 – уравнение с разделяющимися переменными

= -p(x)v/dx

/:v

2 шаг.

u’v=g(x)

u’=

/dx

dx

dx

dx

3. Уравнения Бернулли.

y’+p(x)y=g(x) – уравнение Бернулли.

Разделим всё на

y’ +p(x)

=z

z’=(-n+1) y’

y’

Решается методом подстановки z=uv или методом Лагранжа

Пример:

/

u’v=2x

/*dx

Метод Лагранжа – это метод вариации произвольной переменной

3. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Рассмотрим линейное  дифференциальное   уравнение  вида

где p, q − постоянные коэффициенты.  Для каждого такого  дифференциального   уравнения  можно записать так называемое характеристическое уравнение :

Обшее решение  однородного   дифференциального   уравнения  зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного  уравнения  положителен: D > 0. Тогда корни характеристического  уравнения  k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа. 

2. Дискриминант характеристического квадратного  уравнения  равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁  второго   порядка . Общее решение  однородного   дифференциального   уравнения  имеет вид:

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

3. Характеристическое уравнение.

Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена к дифференциальному уравнению вида (при F(t) (≡) 0 это уравнение называется однородным). Здесь а1, b1 — постоянные коэффициенты, выражающиеся, например, через аэродинамические коэффициенты; Z(t) — неизвестная функция времени t; F(t) — заданное, зависящее от времени внешнее возмущение. Если ввести обозначение di/dti = pi так, что diZ(t)/dti = piZ(t), то это уравнение можно переписать в виде L(p)Z(t) = S(р)F(t), где L(р) и S(р) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно. Полученный таким образом многочлен L(р) = рn + a1pn—1 + ... + an—1p + an называется характеристическим многочленом (полиномом), а уравнение L(р) = 0 — характеристическим уравнением (существуют и другие способы получения X. у. — см., например, ст. Передаточная функция). Корни X. у. определяют вид решения линейного однородного дифференциального уравнения и тем самым тип собственного движения системы (периодические, затухающее и т. п.). X. у. линейной системы не зависит от того, относительно какой из её переменных (например, скорость полёта или угол атаки при исследовании продольного движения) составляется дифференциальное уравнение и какие возмущающие и задающие воздействия в эту систему вводятся. Необходимым и достаточным условием устойчивости решения системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений является отрицательность всех действительных частей корней X. у. При этом оказывается, что положительность всех коэффициентов характеристического полинома является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков и лишь необходимым условием устойчивости (обеспечивается отрицательность только вещественных корней) для систем третьего и более высоких порядков. Существуют различные способы исследования на основе X. у. устойчивости систем, например метод построения областей устойчивости, алгебраические и частотные критерии. X. у. широко используется при исследовании динамики полёта, устойчивости ЛА и его управляемости.