Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Иногда такие несобственные интегралы
называют несобственными интегралами
второго рода. Несобственные интегралы
второго рода коварно «шифруются» под
обычный определенный интеграл и выглядят
точно так же:
.
Но, в отличие от определенного интеграла,
подынтегральная функция
терпит
бесконечный разрыв (не существует): 1) в
точке
,
2) или в точке
,
3) или в обеих точках сразу, 4) или даже
на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим
первые два случая, для случаев 3-4 в конце
статьи есть ссылка на дополнительный
урок.
Если подынтегральной функции не существует в точке
Сразу пример, чтобы было понятно:
.
Вроде бы это определенный интеграл. Но
на самом деле – это несобственный
интеграл второго рода, если мы подставим
в подынтегральную функцию значение
нижнего предела
,
то знаменатель у нас обращается в ноль,
то есть подынтегральной функции просто
не существует в этой точке!
Вообще при анализе несобственного
интеграла всегда нужно подставлять
в подынтегральную функцию оба предела
интегрирования. В этой связи проверим
и верхний предел:
.
Здесь всё хорошо.
Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:
Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода. Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конченому числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).
Осталось только модифицировать формулу
Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется
с помощью предела, но предел стремится
уже не к бесконечности, а к значению
справа.
Легко проследить по чертежу: по оси
мы
должны бесконечно близко приблизиться
к точке разрыва справа.
Несобственные интегралы от разрывных функций.
Если
функция
(х)
непрерывна на (а,b), а при х = b имеет разрыв
2-го рода, то ранее данное определение
определенного интеграла неприменимо.
О:
Несобственным интегралом от
функции
(х)
имеющей
разрыв 2-го рода при х = b, называется
Несобственным
интегралом от функции
(х),
непрерывной на (а, b) и имеющей разрыв
2-го рода
при
х = а, называется 
Если пределы существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися, в противном случае — расходящимися.
О:
Несобственным интегралом от функции
(х),
непрерывной на
и
имеющей разрыв 2-го рода прина
зывается
Интеграл сходится, если сходятся оба интеграла справа, и расходится, если расходится хотя бы один из них.
Пример:
т.е. интеграл расходится. Расходимость может иметь место лишь в случае нс.и. от неограниченной функции.
Понятие о дифференциальном уравнении.
Уравнение содержащее не зависимую переменную функцию и производную n-ого порядка называется дифференциальным уравнением.
F(x,y,y’,y’’,y’’’…y(n))=0
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производной функции.
ДУ зависимой от одной переменной называется обыкновенным, в противном случае ДУ называется в частных производных.
Решить ДУ значит найти такую функцию которая при подстановке обращает ДУ в тождество.
ДУ имеет семейство решений отличающихся на постоянную величину С.
Графиком решения ДУ является интегральная кривая.
Таким образом, ДУ называют связь (х,у) между угловым коэффициентом касательной. К касательной проведенной к интегральной кривой в точке х,у.