Московский Авиационный Институт

(Государственный Технический Университет)

Курсовая работа по теории вероятностей и математической статистике

Выполнил: студент группы 07-206

Леонов А.А.

Принял:

Мирошкин В.Л.

Теоретическая часть.

Некоторые сведения из теории вероятностей

Под случайной величиной (СВ) понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Вероятностный смысл математического ожидания (МО) состоит в том, что оно является средним значением СВ

Дисперсией (рассеянием) СВ называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания. Характеризует разброс значений СВ относительно ее МО

Функцией распределения СВ Х называется функция F(x), которая для любого x R равна вероятности события { X < x }

Квантилью уровня p СВ Х называется решение уравнения F_X(x_p) ≤ p, т.е. такое x_p при котором вероятность события { X < x_p } не превышает p

1. Основные непрерывные распределения

1. 1. Равномерное распределение

Определение 1.1 СВ Х распределена равномерно на отрезке [a,b] (X~R(a;b)), если плотность вероятности имеет вид

Свойства R(a;b)

1. Функция распределения имеет вид (рис. 2)

2. МО и дисперсия по определению равны

Графики функций f(x) и F(x) приведены на рисунке.

1. 3. Нормальное распределение

Определение 1. 3. СВ X имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами т и σ² > 0, т.е. X~N(m;σ²), если

При этом СВ называется нормальной (гауссовской). График плот­ности нормального распределения, называемый кривой Гаусса, имеет единственный максимум в точке х = т

Свойства N(m;σ²)

1) функция распределения СВ X ~N(m;σ²) имеет вид

Функцию распределения можно выразить через функцию стандартного нормального распределения следующим образом:

, где

2) МО и дисперсия СВ X ~ N(m;σ²) равны

Вычисления, связанные с нормальным распределением, чаще осуществляются не через ,а через функцию Лапласа

как более удобную, в частности тем, что она является нечетной

Следует, однако помнить что функция (в отличии от ) не является функцией распределения.

Функции связаны соотношением

.

5 ) Нормально распределенная СВ с большой вероятностью при­нимает значения, близкие к своему МО, что описывается «правилом к сигм»:

Математическая статистика – наука о математических методах, позволяющих по статистическим данным, например по реализациям случайной величины (СВ), построить теоретико-вероятностную модель исследуемого явления. Задачи математической статистики являются, в некотором смысле, обратными к задачам теории вероятностей. Центральным понятием математической статистики является выборка.

Определение 1. Однородной выборкой (выборкой) объема n при n 1 называется случайный вектор Z_n=col(X₁,…,X_n), компоненты которого X_i, i= , называемые элементами выборки, являются независимыми СВ с одной и той же функцией распределения F(x). Будем говорить, что выборка Z_n соответствует функции распределения F(x).

Определения 2. Реализацией выборки называется неслучайный вектор z_n=col(x₁,…,x_n), компонентами которого являются реализации соответствующих элементов выборки _Xi, i= .

Из этих определений вытекает, что реализацию выборки zn можно также рассматривать как последовательность x1,…,xn из n реализаций одной и той же СВ X, полученных в серии из n независимых одинаковых опытов, проводимых в одинаковых условиях. Поэтому можно говорить, что выборка Zn порождена наблюдаемой СВ X, имеющей распределение F_x(x)=F(x).

Определение 3. Если компоненты вектора Zn независимы, но их распределения F₁(x₁),…,F_n(x_n) различны, то такую выборку называют неоднородной.

Определение 4. Множество S всех реализаций выборки Z_n называется выборочным пространством.

Выборочное пространство может быть всем n-мерным евклидовым пространством или его частью, если СВ X непрерывна, а также может состоять из конечного или счетного числа точек из Rⁿ, если СВ X дискретна.

На практике при исследовании конкретного эксперимента распределения F₁(x₁),…,F_n(x_n) СВ X₁,…,X_n редко бывают известны полностью. Часто априори (до опыта) можно лишь утверждать, что распределение F_Zn(z_n)=F₁(x₁),…F_n(x_n) случайного вектора Z_n принадлежит некоторому классу (семейству) F.

Определение 5. Пара (S,F) называется статистической моделью описания серии опытов, порождающих выборку Z_n.

Определение 6. Если распределение F_Zn(z_n,Ө) из класса F определены с точностью до некоторого векторного параметра Ө Θ IR^s, то такая статистическая модель называется параметрической и обозначается (S _Ө, F_Zn(z_n, Ө)), Ө Θ R^s.

В некоторых случаях выборочное пространство может не зависеть от неизвестного параметра Ө распределения F_Zn(z_n,Ө).

Определение 7. СВ Z=φ(Z_n), где φ(Z_n) – произвольная функция, определенная на выборочном пространстве S и не зависящая от распределения F_Zn(z_n,Ө), называется статистикой.

Определение 8. Упорядочим элементы реализации выборки ,..., по возрастанию ,где верхний индекс соответствует номеру элемента в упорядоченной последовательности. Обозначим через , ,случайные величины, которые при каждой реализации выборки принимают -е(по верхнему номеру) значения .Упорядоченную последовательность СВ называю вариационным рядом.