Тождественно истинные формулы

Множество всевозможных формул логики высказываний с точки зрения принимаемых этими формулами значений разбивается на три класса:

1. Формулы, принимающие значения И при всех наборах входящих в них переменных называются тождественно истинными (ТИФ).

2. Формулы, принимающие значения Л на всех наборах значений переменных, входящих в них, называются тождественно ложными (ТЛФ).

3. Формулы, принимающие при некоторых наборах значений переменных значения И, при других – Л, называются выполнимыми.

Предложение « - тождественно истинная формула» обозначают |‑.

На практике мы ввели важное понятие равносильности формулы логики высказывания. Две формулы А и В равносильны (АВ) тогда и только тогда, когда они представляют одну и ту же функцию от входящих в нее переменных, то есть для всех наборов значений переменных значения истинности формул А и В совпадают, в противном случае формулы не равносильны.

Таким образом, на первый взгляд может показаться, что для установления равносильности формул достаточно сравнить их значения на всевозможных наборах переменных. Однако кажущаяся простота решения проблемы наталкивается на ряд серьезных затруднений.

1. Во-первых, если число переменных не очень мало, то число наборов, которые нужно подставлять, будет очень велико и применение простого принципа сравнения формул А и В может стать практически невозможным. Уже для 30 переменных потребуется проверить 10⁹ наборов (это примерно соответствует 2³⁰). При этом для установления равносильности нужно для каждого набора провести вычисление значений обеих формул, а если эти формулы большой длины, то на это, в свою очередь, понадобится большое число операций.

2. Во-вторых, ‑ и это соображение, по видимому более важно – в логике высказываний, в логике предикатов и их приложениях речь пойдет о равносильности не двух каких-либо формул, а о равносильности бесконечного множества формул. Таким образом, нужны утверждения, согласно которым все формулы некоторого определенного вида равносильны соответственно формулам некоторого определенного вида, то есть нужны общие соображения, общие правила вывода одних формул из других.

Отношение равносильности и эквивалентность

Докажем, что если формулы ₁ и ₂ равносильны, то формула ₁₂ тождественно истинна, то есть если ₁₂, то |‑₁₂ и если |‑₁₂, то ₁₂.

Доказательство. Действительно, если ₁₂, то формулы ₁ и ₂ принимают обе значение И или обе значение Л при любом наборе значений входящих в них переменных, а в этом случае формула ₁₂, согласно определению эквивалентности, принимает только значение И, то есть |‑₁₂. Обратно, если ‑₁₂, то ₁ и ₂ принимают при любом наборе значений входящих в них переменных обе значение И или обе значение Л, то есть ₁₂.

Таким образом, исходя из доказанного предложения, каждая из перечисленных в таблице равносильностей порождает тождественно истинную формулу (достаточно заменить знак равносильности = или  знаком эквивалентности ).

Наоборот, если ₁₂, то для некоторого набора x₁,…,x_n значений переменных одно высказывание будет иметь значение И, другое – Л. Тогда ₁(x₁,…,x_n) ₂(x₁,…,x_n) будет ложным высказыванием, а следовательно, формула ₁(x₁,…,x_n) ₂(x₁,…,x_n) не будет тождественно истинной.

Тем самым задача об установлении равносильности двух формул сводится к установлению тождественной истинности формул частного вида.

Наряду с отношением равносильности между формулами логики высказываний рассматриваются некоторые другие отношения, представляющие большой интерес для логики и ее приложений. Среди них наиважнейшим является отношение логического следования.

Пусть ₁(x₁,…,x_n)₁ и ₂(x₁,…,x_n)₂ – две формулы логики высказываний от переменных x₁,…,x_n. Будем говорить, что формула ₂(x₁,…,x_n) является логическим следствием формулы ₁(x₁,…,x_n), если ₂ принимает значение И для всех наборов значений переменных, для которых ₁ истинна. Это означает также, что если представить обе формулы их таблицами истинности, то множество наборов, для которых ₁ истинна содержится в множестве наборов, для которых истинна формула ₂.

Например, согласно этому определению ₂=(xz) является логическим следствием ₁=((xy)&z). Это видно их соответствующих таблиц истинности.

x	y	z	1=((xy)&z)	2=(xz)
1	1	1	1	1
1	1	0	0	1
1	0	1	1	1
1	0	0	0	1
0	1	1	1	1
0	1	0	0	0
0	0	1	0	1
0	0	0	0	0

Определение. Формула ₂(x₁,…,x_n) является логическим следствием формулы ₁(x₁,…,x_n) тогда и только тогда, когда тождественно истинна формула

₁(x₁,…,x_n)₂(x₁,…,x_n).

Из сказанного видно, что формулы ₁ и ₂ равносильны тогда и только тогда, когда каждая из них является логическим следствием другой. Из определения также следует, что всякая формула является логическим следствием тождественно ложной формулы. Действительно, так как в этом случае формула ₁ никогда не принимает значение И, то множество наборов, для которых ₁ истинно, пусто и содержится, следовательно, в множестве наборов истинности для любой формулы ₂.

Отметим, что введенные отношения (тождества и следования) относятся не к единичным высказываниям, как это имело место для понятия импликации, а к целым множествам высказываний, описываемых формулами ₁(x₁,…,x_n) и ₂(x₁,…,x_n).

Формулу ₁(x₁,…,x_n) можно рассматривать как условие, которое может быть выполнимо или нет в зависимости от истинности ₁.

Перечень тождественно истинных формул

1. (pq)(rq)(prq);

2. pqp;

3. (pq)(pr)(pqr);

4. (pq)pq;

5. ;

6. ‑ закон контрапозиции;

7. ? ‑ закон расширенной контрапозиции;

8. p(qr)pqr;

9. ;

10. ;

11. (pq)(qr)(pr) – .закон силлогизма.

Подстановка

Разумеется, этот перечень не исчерпывает тождественно истинные формулы, находящие применение в исчислении высказываний. Вместе с тем каждая из перечисленных тождественно истинных формул порождает новые ТИФ в результате подстановки вместо какой-нибудь входящей в нее переменной произвольной формулы.

Действительно, если |‑(…, р,…) содержит переменную р, то, подставив вместо переменной р всюду, где она входит в , произвольную формулу , в результате получим формулу (…, ,…), которая принимает те же значения, что и исходная формула (…, р,…), так как  принимает те же значения (И, Л), что и р.

Конечно, можно применять подстановку к нескольким или даже ко всем переменным, входящим в ТИФ.

Например, тождественно истинной формулой является

|‑(₁₂)(₂₃)( ₁₃), так как эта формула получается из (11) подстановкой вместо p формулы ₁, вместо q формулы ₂ и вместо r формулы ₃.