- •Логические операции
- •Логические функции.
- •Функцией алгебры логики
- •Элементарные функции алгебры логики
- •Свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания
- •Свойства функций сложения по модулю 2, импликации, штриха Шеффера и стрелки Пирса (функции Вебба)
- •Известно, что любая булева функция, отличная от нуля, может быть представлена совершенной днф.
- •2. Операции поглощения, которая состоит в замене выражения на,
- •Минимальные формы
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Многомерный куб
- •Карты Карно
- •Карты Карно для 4-х переменных.
- •Тождественно истинные формулы
- •Отношение равносильности и эквивалентность
- •Проблема разрешимости тождественной истинности
- •Элементы теории графов
- •Основные понятия и определения
- •Цепи и циклы графов
- •Деревья на множестве вершин
- •Символ дерева
- •Экстремальное дерево.
- •Деревья графа.
- •Типы конечных графов.
- •Примеры и задачи.
- •Тождества теории множеств
- •Важнейшие зависимости фал.
- •Вопросы
- •Комбинаторика
- •Элементы алгебры логики
- •Литература
Проблема разрешимости тождественной истинности
Ввиду особой роли ТИФ, возникает вопрос о существовании общего метода (разрешающего метода), позволяющего относительно любой конкретной формулы логики высказываний ответить, является ли она тождественно истинной или нет.
Укажем несколько методов разрешения этого вопроса.
1. Составление таблицы истинности, соответствующей данной формуле. Если последний столбец таблицы (столбец значений данной формулы) состоит из одни И, данная формула – ТИФ, если же в столбце содержится хотя бы одна Л, она не является ТИФ. Разумеется, составление таблицы истинности ‑ не всегда удобный метод (при числе n переменных таблица содержит 2n строк). Но она всегда состоит из конечного числа шагов и всегда дает ответ на поставленный вопрос.
2. Преобразование формулы (приведение ее к КНФ). Все операции, знаки, которые содержатся в формуле, выражаются через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Знаки отрицания сводятся к отдельным переменным (использование законов де Моргана). Для этого используются законы двойного отрицания, коммутативности, ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции, дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции.
В результате этих преобразований формула приводится к КНФ. Если в каждой дизъюнкции содержится какая-либо переменная вместе с ее отрицанием, то данная формула – ТИФ. Если существует хотя бы одна дизъюнкция, не содержащая ни одной переменной вместе с ее отрицанием, данная формула не является ТИФ.
Пример. Применим этот метод к формуле (pq)(qr) (pr)
3. Метод косвенного доказательства (способ от противного). Допустим, что данная формула не является ТИФ. Тогда существует хотя бы один набор значений переменных, входящих в эту формулу, при котором она принимает значение Л. Если такой набор переменных удается найти, то данная формула не является ТИФ. Если же допущение о существовании такого набора значений переменных ведет к противоречию, то данная формула – ТИФ.
Пример. Применим этот метод к формуле (pq)(qr) (pr).
Допустим, что эта формула не является ТИФ. Тогда существует хотя бы один набор значений переменных (p, q, r), при котором она ложна, то есть основание истинно
(pq)(qr)И; (1)
а следствие ложно (pr)Л. (2)
Из (2) следует р=И, (3)
а r=Л (4)
Из (1) следует, что (pq)И; (5)
(qr)И; (6)
Из (6) и (4) следует q=Л, (7)
а из (7) и (5) р=Л. (8)
Получили противоречие (3) и (8). Следовательно, наше допущение неверно и формула (1) ТИФ.
На основе этих примеров можно сделать ряд выводов о тождественной истинности формул.
Теорема 1. Чтобы элементарная логическая сумма была тождественно-истинной, необходимо и достаточно, чтобы в ней содержалась хотя бы одна пара слагаемых, из которых одно есть некоторая переменна, а другое – ее отрицание.
В самом деле, если такая пара слагаемых найдется, то сумма имеет вид Поскольку, поэтому и истинна вся рассматриваемая сумма, каковы бы ни были остальные слагаемыеy, z,…
Это условие достаточное. Теперь об условии необходимом. Допустим, что такой пары слагаемых, из которых одно является отрицанием другого, в сумме нет. В таком случае можно каждой переменной, не стоящей под знаком отрицания, дать значение Л, а каждой переменной, стоящей под знаком отрицание дать значение И. Это можно сделать, поскольку ни одна переменная не входит в сумму одновременно с отрицанием и без отрицания. После указанной подстановки каждое слагаемое примет значение Л, и, следовательно, формула не является ТИФ, что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается
Теорема 2. Чтобы элементарное произведение было тождественно ложным, необходимо и достаточно, чтобы в нем содержалась хотя бы одна пара множителей, из которых один является отрицанием другого.