Деревья графа.
Будем называть деревом связного графа любое покрывающее дерево, связывающее все его вершины и имеющее в качестве ветвей ребра этого графа.
Два дерева считаются различными, если они отличаются хотя бы одним ребром.
Существует простой способ определения количества различных деревьев графа без петель (мультиграфа) с р вершинами. Для этого необходимо записать квадратичную матрицу р-го порядка, по главной диагонали которой расположена степень вершин, а ij-и ji-элементы равны взятому со знаком ''-'' числу ребер, связывающих вершины i и j.
Вычисляя любой из главных минора этой матрицы, получим исходное число деревьев.
Например, для графа имеем дерево (одно из 7в).
22 — один из главных миноров этой матрицы.
Это теорема Трента.
Типы конечных графов.
Число ребер, связанных с вершиной i (петля учитывается дважды), называется степенью вершины и обозначается deg(i).
deg(2)=4
deg(5)=0
Степень изилирования вершины равна 0. Легко показать, что в любом графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер, а число вершин нечетной степени всегда четно.
В орграфе различают положительные +(i) и отрицательные -(i) степени вершин, которые равны соответственно числу исходящих из i и заходящих в i дуг.
Очевидно, что суммы положительных…………………………….
Примеры и задачи.
1. Даны два множества Х={x1,x2,x3,x4,x5,x6} Y={y1,y2,y3,y4}
и определено бинарное отношение А={(x1,y2),(x2,y1),(x2,y2),(x4,y2), (x4,y3),(x5,y1),(x5,y3)}.
Для данного отношения А:
а) записать область определения и область значений;
б) определить сечения по каждому элементу из Х;
в) определить сечения по подмножествам Х'={x1,x4} и Х''={x2,x3,x5} множества Х;
г) записать матрицу и нарисовать граф;
д) определить симметричное отношение А-1.
2. Пусть Х — множество студентов; Y — множество дисциплин и соотношение хАу, где хХ и уY, означает ''студент х изучает дисциплину у''. Дать словесное описание областей определения и значений, сечений и обратного отношения, полученных в задаче №1.
3. По результатам задачи определите множества А(х2) А(х4), А(х2)\ А(х4) и А(х2)+А(х4). Дайте им словесное описание согласно условия задачи №2.
Задача. Представьте бинарные отношения, заданные графом как множество упорядоченных пар и запишите его матрицу.
Задача. Записать композицию С=ВА отношений А={(1,2),(1,3), (2,1),(2,4),(3,3)} и В={(1,1),(1,3), (2,2),(3,1),(4,2),(4,3)}. Проверить результат с помощью операций над матрицами и графами заданных отношений.
Тождества теории множеств
=A
=
Важнейшие зависимости фал.
Вопросы
1. Основные понятия и терминология теории множеств:
множество, элемент, конечные и бесконечные способы задания множеств, ординарность, экстраординарность, пустое множество, собственное, несобственное, симметричное, рефлексивность, транзитивность.
2. Взаимно одиозное соответствие между множествами.
3. Счетные и несчетные множества.
4. Верхняя и нижняя границы множеств.
5. Операции над множествами.
6. Универсальное множество, дополнение множест
7. Разбиения множества.
8. Тождества алгебры множеств.
9. Коммутативные и дистрибутивные законы.
10. Теоремы де Моргана в алгебре множеств.
11. Дизъюнктивная сумма (коммутативный и распространительный законы).
12. Принципы двойственности.
13. Метод доказательств тождеств.
14. Отношение в множествах:
рефлексивность, нерефлексивность, антирефлексивность, сим метричность, асимметричность, транзитивность, связанность (доказать приведением высказываний).
15. (M/N)(N/M)=?
(АВС)(
=?
16.
Решить уравнение
17. Принцип решения уравнений.
18. Круги Эйлера для доказательства тождеств.
19. Круги Эйлера при решении уравнений.
20. Диаграммы Венна для доказательства тождеств.
21. Диаграмма Венна для решения тождеств.
22. Сравнительный анализ методологии применения кругов Эйлера и диаграмм Венна.
23. Произведение множеств.
24. Области определения и значений.
25. Сечения, матрица отношений.
26. Граф отношения, симметричное отношение.
27. Композиция отношений.
28. Общие свойства отношений.
29. См. примеры 65.
30. Произведение множеств. Проекция множеств.
31. Соответствие в множествах.
32. Обратное соответствие. Способы задания соответствий.
33. Композиция соответствий.
34. Графическое задание объединения и пересечения соответствий.
35. Отображения, свойства их, композиция соответствий.
36. Отображение как функция.
37. Способы задания функции.
38. Функция времени, понятие оператора.
39. Понятие изоморфизма.