III. Логическое отрицание (инверсия)
Присоединение частицы "не” к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.
! Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
Операцию
логического отрицания (инверсию) над
логическим высказыванием Х
в алгебре логики
принято обозначать чертой над
высказыванием,
читается «не Х»
(Not
x).
Высказывание
истинно, когда Х
ложно, и наоборот ложно, когда Х
истинно.
Пример. Пусть А = “Луна — спутник Земли” - истинное высказывание, тогда высказывание F = “Луна — не спутник Земли”, образованное с помощью логического отрицания, — ложно.
Образуем высказывание F, являющееся логическим отрицанием высказывания Х:
F =
Истинность такого высказывания задается таблицей истинности функции логического отрицания (табл. 3).
Таблица 3. Таблица истинности функции логического отрицания
x |
F = |
0 |
1 |
1 |
0 |
Логические функции и таблицы истинности
Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.
Например. Составное высказывание содержит два простых высказывания:
А = 2+2 = 5 – ложно (0);
В = 2+2 = 4 – истинно (1).
Составное высказывание можно записать так:
(А или В) и (А или В).
Теперь запишем это составное высказывание на формальном языке (языке алгебры логики):
F
= (А v
В) & (
v
)
Подставив в формулу значения логических переменных и используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции:
F = (А v В) & ( v ) = (0 v 1)&(1 v 0) = 1&1 = 1.
Любое составное высказывание можно рассматривать как логическую функцию F(x1, x2, x3, ...xn), аргументами которой являются логические переменные x1, x2, x3, ...xn (простые высказывания). Функция и аргумент могут принимать два значения: истина (1) и ложь (0).
Выше мы рассмотрели функции двух аргументов: логическое умножение F(x,y) = x Λ y, логическое сложение F(x,y) = x v y, логическое отрицание F(x) = , в котором значение второго аргумента можно считать равным нулю.
Каждая логическая функция двух аргументов имеет четыре (22) возможных набора значений аргументов: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
Если функция содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь (23):
(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1),
(1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1).
Количество наборов для функции с четырьмя переменными равно шестнадцати (24) и т.д.
Для каждой логической функции можно построить таблицу истинности. Таблица истинности логической функции выражает соответствие между всевозможными наборами значений аргументов и значениями функции.
Таблица является удобной формой записи при нахождении значений функции, содержащая кроме значений аргументов и значений функции также и значения промежуточных функций.