ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГБОУ СПО ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ № 39

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Темы 4: «Арифметические основы работы компьютера»

дисциплины «Информатика и ИКТ»

для групп первого курса СПО

технический профиль

Что такое система счисления?

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами.

Например, в десятичной СС числа записываются с помощью цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилами с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Система счисления – это способ наименования и изображения чисел с помощью символов (цифр), имеющих определенное количественное значение.

! Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

! В непозиционной системе счисления значение каждого знака в числе не зависит от позиции (места), которую занимает знак в записи числа.

В непозиционных системах количественное значение каждой цифры не зависит от ее места (положения) в числе, или вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа.

Самой распространенной является римская система счисления, в ней несколько цифр приняты за основные: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Остальные числа получаются из основных путем сложения (как VI, VII) или вычитания (как IV, IX).

Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Например, десятичное число 1998 в римской системе счисления выглядит так: MCMXCVIII = 1000 + (1000 – 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1 + 1.

! В позиционной системе счисления значение каждого знака в числе зависит от позиции (места), которую занимает знак в записи числа

В позиционных системах счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (положения) в числе, т. е. вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•10² + 5•10¹ + 7•10⁰ + 7•10^-1 = 757,7.

Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание.

Например, десятичная система счисления имеет алфавит из десяти «арабских» цифр и основание, равное 10.

Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

В настоящее время наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Таблица 1. Позиционные системы счисления

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная	16	0, 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)

Десятичная система счисления. Рассмотрим в качестве примера число 257. Цифра 7 означает семь единиц, цифра 5 - пять десятков, цифра 2 – две сотни.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе счисления цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде) означает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, - количество десятков, еще левее - сотен, затем тысяч и так далее. Соответственно имеем разряд единиц, десятков, сотен ,тысяч и так далее.

Число 257 записано в привычной для нас свернутой форме.

В развернутой форме записи число записывается в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 257 в десятичной системе выглядит следующим образом:

257₁₀ = 2 * 10² + 5 * 10¹ + 7 * 10⁰ = 200 + 50 + 7 = 257.

Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записываются в виде суммы числового ряда степеней оснований (у нас основание 10), а коэффициентами являются цифры данного числа (у нас 2, 5, 7).

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания.

Например, число 257, 34 в развернутой форме записывается так:

257,34₁₀ =2 * 10² +5 * 10¹ +7 * 10⁰ +3 * 10^-1 +4 * 10^-2 =200+ 50 + 7+0,3 +0,04 = 257,34.

Двоичная система счисления. Основание СС равно 2, алфавит состоит из двух цифр 0 и 1. Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, свернутая форма числа 101,01₂ в развернутом виде выглядит так:

101,01₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 0*2^-1 + 1*2^-2

В восьмеричной системе счисления основание (q) равно 8, тогда свернутая форма числа 673,2₈ в развернутом форме имеет вид:

673,2₈ = 6 * 8² + 7 * 8¹ + 3 * 8⁰ + 2 * 8^-1

В шестнадцатеричной системе счисления основание равно 16, тогда свернутая форма числа 8А,F₁₆ в развернутом форме имеет вид (A=10; F=15):

8А,F₁₆ = 8 * 16¹ + A * 16⁰ + F * 16^-1 = 8 * 16¹ + 10 * 16⁰ + 15 * 16^-1

Задание.

Записать числа 19,99₁₀, 10,10₂, 64,5₈, 39,F₁₆ в развернутой форме.