5. Логика предикатов

Существуют логические высказывания, истинность которых не может быть установлена в ИВ из-за того, что в них речь идет не об одном элементе некоторого множества или множестве в целом, а о некоторой совокупности эле-ментов. Наиболее известным примером такого высказыва-ния является сократовское изречение: “Все люди смертны. Сократ - человек, следовательно, Сократ смертен”. В ИВ нет средств, для того, чтобы выразить понятие “все”. Ари-стотель в своей логике преодолевал данные трудности за счет рассмотрения довольно узкого класса высказываний. Основным побудительным мотивом к расширению ИВ ста-ла необходимость строгого логического обоснования мате-матических дисциплин, поскольку с его помощью невоз-можно строгое построение даже самых простых из них, например, арифметики.

5.1. Кванторы и предикаты

Для формулирования высказываний, в которых пред-метом рассмотрения являются элементы множеств, вво-дятся специальные логические символы - кванторы:

1)  -”любой”. Выражение  х Р(х) читается как: ” Для любого х справедливо Р(х) ”,

2) -”существует”. Выражение  х Р(х) означает:” Сущест-вуют х , для которых справедливо Р(х) ”.

Замечание. Квантор  можно было бы не вводить, по-скольку выражение  х Р(х) является сокращенной записью выражения  ( х)  (Р(х)) - ” Не для любого х справед-ливо отрицание Р(х) ”.

Для того, чтобы оперировать с отдельными элемента-ми множеств вводится обобщение понятия высказывания - предикат.

198

Определение. Пусть задано некоторое множество объектов М. Предикатом (логической функцией ) P (x ⁿ ) = Р(х ₁, ... , х _n) называется высказывание-функция, в кото-ром переменные в наборе (х ₁, ... , х _n ) принимают значения из М , а Р принимает на наборах ( х ₁, ... , х _n ) значения “истина” (И = 1) либо “ложь” (Л = 0).

Определение. Предикат с n переменными называется n - местным.

Определение. Областью истинности предиката Р на-зывается множество значений переменных (х ₁, ... , х _n ), на котором Р = 1.

Рассмотрим действие предикатов на конечных мно-жествах. Пусть М является конечным множеством эле-ментов: М = {a₁ , . . . , a_m }, Р(х) - предикат на М . Тогда справедлива следующая

Теорема.

 х Р(х)  Р( a₁ )  ...  Р( a_m ),

 х Р(х)  Р( a₁ )  ... Р(a_m ).

Справедливость теоремы следует непосредственно из определения функций  и  .

Следствие. В тех случаях, когда структура множества М конечна, у формул ИП можно исключить кванторы и перейти по формулам, приведенным в Теореме, от преди-катов к высказываниям на элементах множества М. Тем самым, формулы будут сведены к обычным формулам ИВ. Однако в общем случае такой переход нельзя выполнить, поскольку вводимые формулы рассматриваются безотно-сительно к структуре множеств М. Она может быть как конечной , так и бесконечной.

Пример. Ввести предметное множество М , предика-ты и выразить в виде формулы, следующее предложение: “У всех птиц есть крылья, но не все они умеют летать”.

Решение. Поскольку в предложении речь идет только о птицах, то принимаем: М = “Птицы”. Первое свойство птиц,

199

которое упоминается в предложении - “ есть крылья”, вто-рое - “ умеют летать”. Поэтому для формальной записи не-обходимы два одноместных предиката (поскольку каждое свойство относится к одной птице) , определенных на М :

Р(х) = “ х имеет крылья”, Q(х) = “ х умеет летать”.

Предикат Р(х) истинен на всем множестве М. Это по-казываем квантором , предикат Q(х) истинен не на всем множестве М - поэтому перед ним ставим  .

Поскольку смысл союза “но” передается логической связкой  , то искомая формула принимает вид:

(х)Р(х)   х Q(х).