5.3. Интерпретация формул лп

Рассмотрим некоторую формулу ЛП В. Пусть в ее за-пись входят следующие символы:

1) предметных переменных Х=(x₁ , х₂ ,...,x_n );

2) предметных констант A = (a₁ , a₂ ,...,a_m );

3) функциональных переменных F = (f₁ , f₂ ,...,f_k );

4) предикатных переменных P = (P₁ , P₂ ,..., P_s ).

Определение. Набор {X,A,F,P} называется сигнату-рой формулы В.

Формулу можно представить в виде некоторой слож-ной зависимости В{X,A,F,P}.

Определение. Зафиксируем некоторое множество М и зададим на нем набор конкретных переменных Х ^', констант A^', функций F^', предикатов P^'. Набор I={М, Х ^', A^', F^', P^'} называется интерпретацией формулы В. М называется предметной областью интерпретации I.

Если формула замкнута, то она либо истинна либо ложна, т.е. превращается в логическую константу. Если же формула имеет свободные переменные, то при задании ин-терпретации она превращается в логическую функцию, при-нимающую значения истинности в зависимости от значений переменных на предметном множестве М.

Пример 1. Допустим, дана замкнутая формула ЛП:

B =  х у Р(х,у).

В формуле B: Х=(x ,y), A = ( ), F = ( );P = (P(x,y)).

1. Рассмотрим первую интерпретацию формулы В. В ней принимаем: М = {N} - множество натуральных чисел, Р(х,у) = S(x,y) =“ у больше х”. В интерпретации I₁ = (N,(x,y), , , S(x,y)) формула B приобретает следующий смысл: ”Для лю-бого натурального числа х существует натуральное число у, большее его“. Очевидно, в интерпретации I₁ формула В = И.

2. Рассмотрим вторую интерпретацию формулы В. М = {N},

204

Р(х,у) = Q(x,y )=“ у меньше х”. В интерпретации I₂= (N, (x, y),,,Q(x,y)) формула имеет смысл: ”Для любого нату-рального числа х существует натуральное число у , меньшее его“. Поскольку для х = 1 меньшего числа не существует, то в интерпретации I₂ формула В = Л.

Пример 2. Рассмотрим формулу В(х) =  у Р(х,у)  Р(у,a)  S(x,y).

В ней одна свободная переменная - x , множества X,A,F,P следующие: Х=(x ,y), A = (а ), F = ( );P = (P(x,y), S(x,y)).

Дадим следующую интерпретацию формулы В . М = {N} - множество натуральных чисел, а=1, Р(х,у) = NE(х,у)= “ у не равно х”, S(x,y) = Div(x,y) =” у делит х без остатка”. В интерпретации I = (N,(x,y),(1),,(NE(x,y),Div(x,y))) форму-ла B истинна при данном значении х, тогда и только тогда, когда не существует натурального у, не равного 1 и х, которое делит х без остатка. Таким образом, в приведенной интерпретации формула В принимает значения истинности тогда и только тогда, когда число х является простым. Подставляя различные значения х, будем получать сле-дующие значения истинности: В(2) = И, В(4) = Л, В(7) = И, В(10) =Л, В(17) = И и т.д.

Определение. Интерпретация I = {М, Х^', A^', F^', P^'} вы-полняет формулу В{X,A,F,P}, если высказывание В { Х ^', A^', F^', P^'} - истинно. Обозначаем I=В.

Определение. Интерпретация I = {М, Х ^', A^', F^', P^'} опровергает формулу В{X,A,F,P}, если высказывание В { Х ^',

A^', F^', P^'} - ложно. Обозначаем I =В.

Определение. Формула В общезначима (опровержи-ма) на множестве М, если любая интерпретация I с предмет-ной областью М выполняет (опровергает) формулу В.

Определение. Формула В выполнима ( невыполнима) намножестве М, если существует интерпретация I с пред-метной областью М, которая выполняет формулу В (любая

205

интерпретация I с предметной областью М опровергает формулу В).

Пример 3. Рассмотрим формулу В { (х, у), , , (Р,Q)} =  Р(х,у) Q(х,у). В качестве предметной области М примем множество {0,1}. В качестве интерпретации I₁ на М зададим Р(х,у)=(ху)z, Q(х,у)=z. Формула В=(ху)z z является тавтологией в ИВ. Это можно выяснить при помощи таблицы истинности. Поэтому интерпретация I₁ выполняет ее на множестве М .

Определение. Интерпретация I есть модель для фор-мулы В (множества формул S), если I=В (I выполняет лю-бую формулу из S ). Интерпретация I называется опровер-жением формулы В (множества формул S), если I=В (I опровергает хотя бы одну формулу в S ).

Определение. Формула В истинна ( ложна) в данной интерпретации, если ВИ(ВЛ) при любом значении сво-бодных переменных, входящих в нее.

При доказательстве истинности формул обычно при-меняют метод доказательства от противного - допускают существование интерпретации, в которой формула будет ложна и приводят утверждение к противоречию.

Пример 4. Доказать тождественную истинность фор-мулы   х Р(х)    х Р(х).

Решение. Допустим, на некотором ненулевом множестве М и сигнатуре  формула ложна. Из ложности импликации следует, одновременное выполнение двух условий:

  х Р(х) =И и   х Р(х)= Л.

Снимая отрицания, получим:  х Р(х) =Л и  хР(х)= И. Из первого утверждения следует, что существуют лож-ные значения предиката Р на множестве М , из второго следует, что все значения Р на М должны быть истинны. Полученное противоречие доказывает тождественную ис-тинность формулы.

206

Задачи.

1.Проверить выполнимость, истинность и ложность фор-мулы В( х, у, f ²₁, f ¹₂,P ² )=P(f ²₁ ( х, у), f ¹₂( у)) в соответ-ствующих интерпретациях:

а) М = R; f ²₁(х,у) =( х²- 2xy); f ¹₂( y) = -y ²;P(x,y) = ’ x > y ‘;

б) М = R; f ²₁(х,у) =( х²- 2xy); f ¹₂( y) = -y ²;P(x,y) =’ x < y ‘;

2.Доказать, что

а) формула тождественно истинна тогда и только тогда, ког-да её отрицание тождественно ложно,

б) формула выполнима тогда и только тогда, когда её отри-цание не является тождественно ложным.

3. Доказать выполнимость формул:

а)х Р(х); б)х Р(х); в)хy (Р(х,y)&Р(y,х)); г)хy Р(х,y); д) хy(Р(х)& Р(y)).

4. Доказать или опровергнуть тождественную истинность формул:

а)  хР(х) хР(х); б)( хР(х) xР(х)); в) х y Р(х,y)   y х Р(х,y); г)  х y Р(х,y)   y х Р(х,y); д) х Р(х)   xР(х); е) ( xA xB) x(A B); ж)x(A(x)&B C(x))   х(A(x)  C(x))B, где х не свободна в В; з) x(A(x)   B(x))   ( х A(x) &  xB(x)).

5. Рассматриваются формулы, содержащие двухместный предикат Р², зависящий от переменных (х,у), а также кон-станты (а,b) ( X=(х,у); A=(а,b); F=; P={P²}). Для формул вводится предметная область М={0,1}, множества перемен-ных X = (u,v); и констант A=(0,1); F=; P = { u&v}). Оп-ределить в данной интерпретации истинностные значения следующих формул: а)  х у Р(x,у); б)  х у Р(x,у); в) х Р(x,b); г) х Р(x,а); д)  х Р(x,b); е) Р(а,b); е) Р(b,b).

6. Привести пример формулы, общезначимой на множестве натуральных чисел N.

7. Привести пример формулы, опровержимой на множестве

натуральных чисел N.

207