5.2 Терм, формула, свободные и связанные переменные. Логика предикатов

Рассмотрим следующие алфавиты:

1.  ₁ = (x,y,z,...,x_i , y _i , z _i, ...) - символы предметных переменных;

2.  ₂ = (a,b,c,...,a_i , b _i , c _i, ...) - символы предметных констант;

3.  ₃ = (f,g,h,...,f_i , g _i ,h _i, ...) - символы функциональных переменных;

4.  ₄ = (P,Q,R,...,P_i , Q _i ,R _i, ...) - символы предикатных переменных;

5.  ₅ = (         ... ) - символы логических связок;

6.  ₆ = (  ) - кванторы;

7.  ₇ = (“(“,”)”) - скобки.

Определение. Множество символов  = ₁ ₂ ₃ ₄ называется сигнатурой.

Допустим, зафиксирована некоторая сигнатура . Прежде, чем вводить понятие формулы, необходимо дать понятие терма.

Определение. Термом сигнатуры  является :

200

1)всякая предметная постоянная и константа,

2) если t₁ , ..., t_k - термы, а f - функциональная переменная, то f ( t₁ , ..., t_k ) - терм.

Терм является обобщением переменной и константы, в котором могут присутствовать функциональные перемен-ные, но нет логических функций - предикатов.

Определение. Формулу сигнатуры  введем следую-щим образом:

1. Если (t₁ , ..., t_k) - термы, (х₁ , ..., х_m) - множество переменных, входящих в них, а Р- предикатная переменная, то Р( t₁ , ..., t_k ) - назовем элементарной формулой или атомом, а (х₁ , ..., х_m ) - его свободными переменными.

2. Если А и В - формулы, то выражения вида F =А  В, F = А В, F = А В, F = А тоже являются формулами. Свободные переменные формул А и В являются свободными переменными формулы F.

3.Если А - формула со свободными переменными (х₁,...,х_m ), то выражения вида F = х_i А(х₁ , ..., х_m ), F = х_i А(х₁ , ..., х_m ) - тоже являются формулами, в которых переменная х_i связана, соответственно, кванторами  и  , а

переменные (х₁ , ..., х_m ) \ х_i -свободны в F.

Смысл связанной переменной в том, что ей заранее указывается, какие значения в области изменения она мо-жет принимать. Свободная же переменная может прини-мать любые значения в своей области определения.

Определение. Формула называется замкнутой, если все вхождения в неё переменных связаны.

Замечание. Одна и та же переменная может быть од-новременно свободной и связанной в одной формуле. На-пример, переменная х в формуле А(х,у)хВ(х,у).

Определение. Терм t свободен для переменной х_i в формуле А, если никакое свободное вхождение х_i в А не лежит в области действия никакого квантора х_j, где х_j - переменная, входящая в t .

201

Примеры.

1. Терм х_j свободен для х_i в формуле Р(х_i ), но не свободен

для х_i в формуле А= х_j Р(х_i ).

2. Терм f (x,y) свободен для х в формуле А =у Р(x,y)  Q(х), но не свободен в формуле B=zх Р(x,y)Q(х).

Логикой предикатов (ЛП) называется расширение алгебры логики, в котором

1) логические функции (предикаты) введены на произволь-ных предметных множествах,

2) введены кванторы по переменным,

3) наряду с логическими введены и предметные функции на предметной области,

4) дано понятие формулы, учитывающее 1)-3).

Соответственно, формулы алгебры логики являются частным случаем формул ЛП.

Задачи.

1. Доказать, что на одноэлементных множествах М кванто-ры  и  совпадают.

2. Построить на множествах М с произвольными числами элементов примеры предикатов, для которых действие кванторов  и  совпадает.

3. Построить на двухэлементном множестве М пример двухместного предиката, у которого действие кванторов  и  не совпадает.

4. Перевести на язык формул следующие предложения , предварительно введя предметные множества и необхо-димые предикаты:

а) “ не все змеи ядовиты”,

б) “ можно обмануть кого-то, но нельзя обмануть всех”,

в) “некоторые остроумны только тогда, когда это не каса-ется их самих”,

г) “ ночью все кошки серы”,

д) “ любой, кто может плавать и летать - либо рыба либо птица”.

202

е) “ не существует самого большого простого числа”,

ж)“не каждое вещественное число является рациональным”,

з) “ любой четырехугольник является ромбом тогда и толь-ко тогда, когда длины его сторон равны”,

и) “ каждый ромб с четырьмя равными углами является квадратом”,

к) “ число х является простым, если оно делится нацело только на себя и на единицу”.

5. Представить в виде а) формулы ЛП, б) формулы ИВ пословицу “ У семерых нянек дитя без глазу”.

6. Выразить в виде формулы ЛП:

а) дистрибутивность сложения относительно умножения для вещественных чисел,

б) ассоциативность сложения для вещественных чисел,

в) коммутативность умножения целых чисел.

7. Пусть Р¹, Q², R³ - одно-, двух- и трехместные предикаты. Будут ли термами следующие выражения:

а) Р¹(х₀ ,а₁), б) Р¹(а₃), в) R³(х₁,а₁), г) R³(х₁, Р¹(х₀ ,а₁), Q²(х₁,а₁)), д) Q²(R³(х,х₁,Р¹(х₀ )),а₁,Q²(х₁, а₁ )), е) R³(Q²(х₀ , а₁),Q²(х₁ ,а₁ )).

8. Определить область истинности предикатов при х  N, у  N:

а) ”х-у = 10”, б) “ху = 16”, в) “х/у = 2”.

9. Будут ли формулами ЛП следующие выражения:

а) х Р(х,у), б) S(z) А(х,у) хВ(х,у),

в)  А(х,у) х В(х,у), г) х Р(х,у)  f Q(f(х),у).

10. Указать свободные и связанные переменные в форму-лах:

а)  Q(х) х В(х,у), б)  хS(х,у)  u А(z,u) В(х,у),

в) х  у А(х,у) В(х,у), г) х Р(х,у) z Q(х,у,z,u),

д)  х у Р(х,у)   R(х,у,z).

11. Привести пример высказывания, которое можно пред-ставить в виде формулы в ЛП, но нельзя – в алгебре логики.

203