6. Проблема разрешимости. Теория автоматического вывода

Логика предикатов является основанием конкретных прикладных теорий. Поэтому основной проблемой в ней является выяснение общезначимости её формул (будут ли они её теоремами). Если формула А исчисления предикатов общезначима, то она может быть использована для логи-ческих рассуждений в любой теории первого порядка К. Если не общезначима, то при её применении могут быть получены (не обязательно) ошибочные суждения.

Выяснение общезначимости формул в любой матема-тической логике называется проблемой разрешимости. В неформальных логиках для проверки общезначимости мо-гут использоваться любые математические приёмы. Напри-мер, в алгебре логики – построение таблиц истинности для функций, реализующих формулы. В нечеткой логике – вы-числение значения истинности на области определения соответствующих функций. В формальных логических теориях (ИВ, ИП) для проверки общезначимости формулы А можно использовать только формальные приёмы – постро-ить вывод А из аксиом теории, доказать опровержимость формулы  А и т. д. Таким образом, проверка обще-значимости формул в ИП может быть сведена к проблеме существования алгоритма разрешимости, позволяющего для каждой формулы выяснить её общезначимость. В общем случае ответ на этот вопрос даёт

Теорема Чёрча. Проблема разрешимости в ИП алго-ритмически не разрешима.

Хотя теорема утверждает, что общего алгоритма (при-менимого ко всем формулам ИП) проверки разрешимости не существует, такие алгоритмы построены для отдельных классов формул, в частности, для формул монадической ло-

214

гики, в которой допускаются только одноместные кванторы.

Разработка эффективных разрешающих алгоритмов позволяет производить проверку общезначимости формул машинными методами, сочетающими логические операции с перебором возможных вариантов.

6.1. Пренексная нормальная форма

Основными способами проверки общезначимости формул являются :

1) построение их вывода из аксиом теории и

2) доказательство невыполнимости их отрицания (любая интерпретация опровергает его).

Рассмотрим второй путь. Обозначим через А отрица-ние некоторой формулы. Для того, чтобы разрешающие ал-горитмы могли применяться к различным формулам, их вначале путем эквивалентных преобразований приводят к некоторому стандартному виду.

Определение. Пренексной нормальной формой (ПНФ) называется представление в ЛП формулы А следую-щего вида:

А =(Q₁ (x₁) Q₂ (x₂)...Q_n (x_n))М,

где=(Q₁ (x₁) Q₂ (x₂)...Q_n (x_n)) - начальная часть формулы, содержащая кванторы, называется префиксом (приставкой), а бескванторная часть формулы М - матрицей.

Определение. Для упрощения дальнейшего анализа матрицу М представляют в форме конъюнкции дизъюнктов: М = (D₁ & D₂ &...& D_k ),

где все дизъюнкты D_i (1  i  k ) являются логическими сум-мами конечного числа литер либо их отрицаний. Под лите-рами понимаются атомы - предикаты, зависящие только от термов.

Примеры литер. 1) Q(x), 2) P(x,b), 2) R( f(x), g(x,а)).

215

Примеры дизъюнктов.1) P(x,y)R(b,x,z), 2) Q(x)  P(f(x, a), b), 3) R(x,a,b).

Поскольку в разрешающих алгоритмах используются пренексные нормальные формы с представлением матриц в виде конъюнкции дизъюнктов, рассмотрим алгоритм пере-хода от формулы ЛП произвольного вида А к пренексной форме с матрицей данного вида. Алгоритм можно разбить на несколько последовательных шагов. Рассмотрим их, иллюстрируя применение на примере преобразования фор-мулы А= х Р(х)   y(Q(x,у)  Р(х)).